Question

Найти объем тела, образованного при вращении вокруг осей OY плоской фигуры, ограниченной линиями x=2cost, y=5sint. + если можно график

Answer 1

$\left \{ {{x=2cost} \atop {y=5sint}} \right. \; \; ,\; \; V=\pi \int\limits^{t_2}_{t_1}\, y^2(t)\cdot x'(t)\, dt\\\\V=-\pi \int\limits_0^{\pi }\, 25\, sin^2t\cdot (-2sint)\, dt=50\, \pi \int\limits^{\pi }_0\, (1-cos^2t)\cdot sint\, dt=\\\\=-50\, \pi \int\limits^{\pi }_0\, (1-cos^2t)\cdot d(cost)=-50\, \pi \cdot (cost-\frac{cos^3t}{3})\Big |_0^{\pi }=\\\\=-50\, \pl \cdot (cos\pi -\frac{1}{3}\, cos^3\pi -cos\, 0+\frac{1}{3}\, cos^3\, 0)=\\\\=-50\, \pi \cdot (-1+\frac{1}{3}-1+\frac{1}{3})=-50\, \pi \cdot (\frac{2}{3}-2)=-50\, \pi \cdot \frac{-4}{3}=\frac{200\pi }{3}$

Answer 2

Чтобы найти объем тела, образованного вращением вокруг оси OY плоской фигуры, ограниченной линиями x=2cost и y=5sint, мы будем использовать метод цилиндрических оболочек.

Сначала давайте построим график данной плоской фигуры в диапазоне углов от 0 до 2π:

1. Расчет пределов интегрирования: Мы будем вращать фигуру вокруг оси OY, поэтому она будет ограничена вдоль оси OX от 0 до 2π (полный оборот).

2. Построение графика: Выразим x и y через параметр t, так как заданы параметрические уравнения x=2cost и y=5sint:

x(t) = 2cos(t) y(t) = 5sin(t)

3. Построим график: (Здесь предполагается, что ось OX находится слева от начала координат, а ось OY - внизу.)

scssCopy code
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

t = np.linspace(0, 2*np.pi, 1000)
x = 2 * np.cos(t)
y = 5 * np.sin(t)

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График плоской фигуры x=2cost, y=5sint')
plt.grid(True)
plt.axis('equal')
plt.show()

Теперь, чтобы найти объем тела, образованного вращением этой фигуры вокруг оси OY, мы будем использовать формулу для объема цилиндрической оболочки:

V = ∫[a, b] 2πx * h(x) dx,

где a и b - пределы интегрирования, x - координата точки фигуры на оси OX, h(x) - расстояние от точки фигуры до оси вращения (в данном случае оси OY).

Мы уже выразили x(t) выше. Теперь найдем h(x):

h(x) = |y(t)| = |5sin(t)|

Таким образом, объем тела V можно найти следующим образом:

V = ∫[0, 2π] 2πx * |y(t)| dt

V = 2π ∫[0, 2π] (2cos(t)) * |5sin(t)| dt

Этот интеграл можно решить численно.

Если у вас есть конкретное значение или диапазон значений t, для которого вы хотите найти объем, дайте мне знать, и я помогу вам с численными вычислениями.