Question

1. 1. Натуральные числа а, b, с таковы, что а^2 + b^2 + с^2 делится на 5. Докажите, что число а • b • с тоже делится на 5.​

Answer 1

a² ≡ 0 или 1 (mod 5). Сумма трёх таких остатков делится на 5 только, когда все три равны 0, следовательно, каждое из чисел кратно 5, а их произведение делится на 125. То есть, произведение abc делится на 5

Answer 2

Предположим, что a, b и c - натуральные числа, такие что a^2 + b^2 + c^2 делится на 5. Нам нужно доказать, что произведение a • b • c также делится на 5.

Доказательство:

Мы знаем, что a^2 + b^2 + c^2 делится на 5. Это означает, что сумма a^2, b^2 и c^2 кратна 5.

Мы можем рассмотреть все возможные остатки от деления на 5 для квадратов чисел. Квадрат любого числа может иметь только один из следующих остатков при делении на 5: 0, 1, 4.

1. Если a^2, b^2 или c^2 имеют остаток 0 при делении на 5, то a, b или c должно быть кратным 5. В этом случае произведение a • b • c также будет кратным 5.

2. Если два из a^2, b^2 и c^2 имеют остаток 1 при делении на 5, а третий имеет остаток 4, то a, b или c должно быть кратным 5. Например, если a^2 и b^2 имеют остаток 1, а c^2 имеет остаток 4, то a и b должны быть кратными 5. В этом случае произведение a • b • c также будет кратным 5.

3. Если все a^2, b^2 и c^2 имеют остаток 1 при делении на 5, то a, b и c должны быть кратными 5. В этом случае произведение a • b • c также будет кратным 5.

Таким образом, во всех возможных случаях произведение a • b • c будет кратным 5, если a^2 + b^2 + c^2 делится на 5.