Question

Знайти точки перетину медіан і висот у трикутнику з вершинами А(5;-2), В(3;-3), C(-1;2)

Answer 1

Дан треугольник с вершинами А(5;-2), В(3;-3), C(-1;2).

Точка М пересечения медиан определяется как среднее арифметическое координат вершин.

х(М) = (5+3-1)/3 = 7/3, у(М) = (-2-3+2)/3 = -1.

Точка М((7/3); -1).

Находим координаты векторов сторон      

АВ (c)              BC (a)              AС (b)  

x y         x y         x y

-2 -1       -4 5        -6 4.

Уравнение стороны АВ:

(х - 5)/(-2) = (у + 2)/(-1)     это каноническое уравнение.

-х + 5 = -2у - 4,

х - 2у - 9 = 0                     уравнение общего вида Ах + Ву + С = 0.

У перпендикуляра к АВ ( то есть высоты СС2) коэффициенты меняются на (-В) и А.

Высота СС2: 2х + у + С = 0. Для определения коэффициента С подставим координаты точки С. 2*(-1) + 2 + С = 0. Отсюда С = 0.

Уравнение высоты СС2: 2х + у  = 0.

Переходим к стороне ВС.

Уравнение стороны ВС:

(х - 3)/(-4) = (у + 3)/5     это каноническое уравнение.

5х - 15 = -4у - 12,

5х + 4у - 3 = 0                     уравнение общего вида Ах + Ву + С = 0.

У перпендикуляра к ВС ( то есть высоты АА2) коэффициенты меняются на В и (-А).

Высота АА2: 4х - 5у + С = 0. Для определения коэффициента С подставим координаты точки А. 4*5 - 5*(-2) + С = 0. Отсюда С = -30.

Уравнение высоты АА2: 4х - 5у - 30 = 0.

Теперь можно определить точку Н пересечения высот, приравняв уравнения двух высот.

СС2: 2х + у  = 0         умножим на (-2)  -4х - 2у       = 0

АА2: 4х - 5у - 30 = 0                               4х - 5у - 30 = 0.    

                                                                        -7у - 30 = 0.

у(Н) = 30/(-7) = (-30/7) ≈ -4,2857, х(Н) = (-у/2) = (15/7) ≈ 2,1429.

Точка Н((15/7); (-30/7)).

 

Answer 2

Для того чтобы найти точки перетину медіан і висот у трикутнику з вершинами А(5;-2), В(3;-3), С(-1;2), спочатку потрібно обчислити координати вершин медіан і висот.

Обчислення координат вершин медіан:

Медіани трикутника - це прямі, які з'єднують кожну вершину трикутника з серединою протилежного відрізка. Щоб знайти координати вершин медіан, потрібно обчислити середини відрізків, які з'єднують вершини трикутника.

1. Обчислимо середину відрізка АВ: - x-координата середини відрізка АВ: (5 + 3) / 2 = 8 / 2 = 4 - y-координата середини відрізка АВ: (-2 + -3) / 2 = -5 / 2 = -2.5 Таким чином, координати вершини медіани, яка з'єднує вершини А і В, будуть (4, -2.5).

2. Обчислимо середину відрізка АС: - x-координата середини відрізка АС: (5 + -1) / 2 = 4 / 2 = 2 - y-координата середини відрізка АС: (-2 + 2) / 2 = 0 / 2 = 0 Таким чином, координати вершини медіани, яка з'єднує вершини А і С, будуть (2, 0).

3. Обчислимо середину відрізка ВС: - x-координата середини відрізка ВС: (3 + -1) / 2 = 2 / 2 = 1 - y-координата середини відрізка ВС: (-3 + 2) / 2 = -1 / 2 = -0.5 Таким чином, координати вершини медіани, яка з'єднує вершини В і С, будуть (1, -0.5).

Обчислення координат вершин висот:

Висоти трикутника - це прямі, які проходять через вершину трикутника і перпендикулярні до протилежного відрізка. Щоб знайти координати вершин висот, потрібно обчислити рівняння прямих, які проходять через вершини трикутника і перпендикулярні до протилежних відрізків.

1. Обчислимо рівняння прямої, яка проходить через вершину А і перпендикулярна до відрізка ВС: - Коефіцієнт наклона прямої, перпендикулярної до відрізка ВС, буде оберненим та протилежним до коефіцієнта наклона відрізка ВС. Коефіцієнт наклона відрізка ВС можна обчислити за формулою: (y2 - y1) / (x2 - x1), де (x1, y1) і (x2, y2) - координати вершин відрізка ВС. - Коефіцієнт наклона відрізка ВС: (-3 - 2) / (3 - (-1)) = -5 / 4 - Так як пряма проходить через вершину А, ми можемо використати рівняння прямої у вигляді y - y1 = m(x - x1), де (x1, y1) - координати вершини А і m - коефіцієнт наклона. - Рівняння прямої: y - (-2) = (-5/4)(x - 5) - Розкривши дужки та спрощуючи, отримуємо: y = (-5/4)x + 15/4 Таким чином, координати вершини висоти, яка проходить через вершину А і перпендикулярна до відрізка ВС, будуть (x, (-5/4)x + 15/4).

2. Обчислимо рівняння прямої, яка проходить через вершину В і перпендикулярна до відрізка АС: - Коефіцієнт наклона прямої, перпендикулярної до відрізка АС, буде оберненим та протилежним до коефіцієнта наклона відрізка АС. Коефіцієнт наклона відрізка АС можна обчислити за формулою: (y2 - y1) / (x2 - x1), де (x1, y1) і (x2, y2) - координати вершин відрізка АС. - Коефіцієнт наклона відрізка АС: (-2 - 2) / (5 - (-1)) = -4 / 6 = -2 / 3 - Так як пряма проходить через вершину В, ми можемо використати рівняння прямої у вигляді y - y1 = m(x - x1), де (x1, y1) - координати вершини В і m - коефіцієнт наклона. - Рівняння прямої: y - (-3) = (-2/3)(x - 3) - Розкривши дужки та спрощуючи, отримуємо: y = (-2/3)x - 1 Таким чином, координати вершини висоти, яка проходить через вершину В і перпендикулярна до відрізка АС, будуть (x, (-2/3)x - 1).

3. Обчислимо рівняння прямої, яка проходить через вершину С і перпендикулярна до відрізка АВ: - Коефіцієнт наклона прямої, перпендикулярної до відрізка АВ, буде оберненим та протилежним до коефіцієнта наклона відрізка АВ. Коефіцієнт наклона відрізка АВ можна обчислити за формулою: (y2 - y1) / (x2 - x1), де (x1, y1) і (x2, y2) - координат