Question

В трикутнику ABC відомі рівняння висот AN x + 5y – 3 = 0, BК x + y – 1 = 0 та сторони AB x + 3y – 1 = 0. Не знаходячи координат вершин й точки перетину висот, скласти рівняння інших сторін.

Answer 1

Ответ:

1) рівняння сторони AB.

Вектор АВ = (2-(-1)); 4-(-6)) = (3; 10).

Уравнение АВ: (x + 1)/3 = (y + 6)/10

или в общем виде 10x -3y - 8 = 0.

В виде с угловым коэффициентом y = (10/3)x - (8/3). k(AB)= 10/3.

2) висоти СК.

k(CK) = -1/k(AB) = -1/(10/3) = -3/10.

Уравнение СК: у = (-3/10)х + в. Для определения слагаемого "в" подставим координаты точки С:

3 = (-3/10)*6 + в, отсюда в = 3 + (18/10) = 4,8.

Уравнение СК: у = (-3/10)х + 4,8.

3) Рівняння медіани ВМ. A(-1,-6)B(2,4)C(6,3)

Находим координаты точки М как середины стороны АС.

М = (A(-1,-6)+C(6,3))/2 = (2,5; -1,5).

Вектор ВМ = (2,5-2; -1,5-4) = (0,5; -5,5).

Уравнение ВМ: (x- 2)/0.5 = (y - 4)/(-5.5) или в целых числах

(x- 2)/1 = (y - 4)/(-11).

Answer 2

Для складання рівнянь інших сторін трикутника ABC можна скористатися властивостями перпендикулярних прямих. Оскільки AN є висотою, то вектор, що сполучає точку А з точкою перетину висот, буде перпендикулярний до вектора BC, який є напрямковим вектором сторони BC.

Рівняння сторони BC можна записати у вигляді:

BC: BKx + y - 1 = 0.

Так як AN є перпендикулярною до BC, то вектор AN буде мати напрямок, протилежний до вектора BC. Таким чином, коефіцієнти x та y в рівнянні AN будуть міняти знаки та поміняються місцями:

AN: -BKx - y + 3 = 0.

Аналогічно, оскільки AN є перпендикулярною до AB, вектор AN буде мати напрямок, протилежний до вектора AB. Таким чином, коефіцієнти x та y в рівнянні AN будуть міняти знаки:

AN: -ABx - 3y + 1 = 0.

Тепер у нас є рівняння сторін BC та AN трикутника ABC.