Question

Допишите равенство: Для любых натуральных чисел а и произведение Нод (a, b) НОК (a, b) .​

Answer 1

Ответ:

для любых натуральных чисел а и b произведение НОК НОД равно произведению этих чисел

Answer 2

Равенство НОД(a, b) * НОК(a, b) для любых натуральных чисел a и b

Равенство НОД(a, b) * НОК(a, b) для любых натуральных чисел a и b является одним из основных свойств наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК). Это свойство можно доказать с использованием определений НОД и НОК, а также с помощью факторизации чисел a и b.

Доказательство: Пусть a и b - два натуральных числа. Предположим, что НОД(a, b) = d и НОК(a, b) = m.

1. Разложение чисел a и b на простые множители: По определению НОД(a, b), d является наибольшим числом, которое делит и a, и b без остатка. То есть, a и b можно представить в виде произведения простых множителей, возведенных в соответствующие степени: a = p1^x1 * p2^x2 * ... * pn^xn b = p1^y1 * p2^y2 * ... * pn^yn где p1, p2, ..., pn - простые числа, а x1, x2, ..., xn и y1, y2, ..., yn - их степени.

2. НОД(a, b) и НОК(a, b) через простые множители: НОД(a, b) - это произведение всех общих простых множителей a и b, возведенных в наименьшие степени: НОД(a, b) = p1^min(x1, y1) * p2^min(x2, y2) * ... * pn^min(xn, yn)

НОК(a, b) - это произведение всех простых множителей a и b, возведенных в наибольшие степени: НОК(a, b) = p1^max(x1, y1) * p2^max(x2, y2) * ... * pn^max(xn, yn)

3. Доказательство равенства: Подставим значения НОД(a, b) и НОК(a, b) в равенство: НОД(a, b) * НОК(a, b) = (p1^min(x1, y1) * p2^min(x2, y2) * ... * pn^min(xn, yn)) * (p1^max(x1, y1) * p2^max(x2, y2) * ... * pn^max(xn, yn))

Поскольку степени простых множителей в НОД(a, b) и НОК(a, b) соответствуют минимальным и максимальным степеням в разложении чисел a и b, соответственно, все степени сокращаются: НОД(a, b) * НОК(a, b) = p1^(min(x1, y1) + max(x1, y1)) * p2^(min(x2, y2) + max(x2, y2)) * ... * pn^(min(xn, yn) + max(xn, yn))

По свойству минимума и максимума, min(x, y) + max(x, y) = x + y для любых натуральных чисел x и y. Таким образом, получаем: НОД(a, b) * НОК(a, b) = p1^(x1 + y1) * p2^(x2 + y2) * ... * pn^(xn + yn)

Это равно произведению a и b, так как a и b были разложены на простые множители: НОД(a, b) * НОК(a, b) = a * b

Таким образом, доказано равенство НОД(a, b) * НОК(a, b) = a * b для любых натуральных чисел a и b.