Question

4. В треугольнике ABC, имеющем периметр 24см, проведена медиана ВМ, так, что пеример треугольника ABM равен 12см, а периметр треугольника BCM равен равен 20см. Найдите длину медианы BM.​

Answer 1

Ответ:

Формула медианы треугольника

m=0,5*√(2а²+2b²-c²), где а и b- боковые стороны, с- сторона, к которой медиана проведена.

Произведя вычисления, получим длину медианы 5 см.

Но, обратив внимание на отношение сторон 6:8:10=3:4:5, увидим, что данный треугольник - египетский, следовательно, прямоугольный с прямым углом В, АС в нем - гипотенуза.

Медиана прямоугольного треугольника из прямого угла равна половине гипотенузы.

m=10:2=5 см

Проверка:

АВ+ВМ+МА=6+5+5=16 см ( периметр треугольника АВМ)

---------

Ещё один способ:

ВМ - медиана и делит сторону АС пополам.

СМ=АМ=10:2=5 ( см)

Р Δ АВМ=16 см

Р Δ АВМ=ВМ+АМ+АВ

16= ВМ+5+6

ВМ=16-11=5 ( см)

Answer 2

Для решения данной задачи можно воспользоваться формулой для длины медианы в треугольнике.

Формула для длины медианы в треугольнике: BM = (2/3) * √(2AC^2 + 2BC^2 - AB^2)

По условию задачи нам известны периметры треугольников ABM и BCM, а значит мы можем найти длины сторон этих треугольников.

Пусть AB = x, BM = y, и CM = z.

Из условия задачи имеем: AB + BM + AM = 2 * (ABM) = 12 см BC + BM + CM = 2 * (BCM) = 20 см

Так как периметр треугольника ABC равен 24 см, то AM + CM = 24 - AB - BC = 24 - x - z.

Теперь можем составить систему уравнений: x + y + (24 - x - z) = 12 y + z + (24 - x - z) = 20

Упростим систему: y + 24 - x - z = 12 y + 24 - x = 20

Отсюда получаем: z = x - 12 y = x - 4

Теперь можем подставить значения y и z в формулу для длины медианы BM: BM = (2/3) * √(2AC^2 + 2BC^2 - AB^2)

BM = (2/3) * √(2(x - 12)^2 + 2(x - 4)^2 - x^2)

BM = (2/3) * √(2(x^2 - 24x + 144) + 2(x^2 - 8x + 16) - x^2)

BM = (2/3) * √(4x^2 - 48x + 288 + 4x^2 - 16x + 32 - x^2)

BM = (2/3) * √(7x^2 - 64x + 320)

Таким образом, длина медианы BM равна (2/3) * √(7x^2 - 64x + 320).