Question

Помогите решить задачу Для каждых двух натуральный чисел a и b истинно равенство:(a×b):НОД (a;b)=НОК (a;b)

Answer 1

Ответ:

Условие

Докажите, что для любых натуральных чисел a и b верно равенство  НОД(a, b)НОК(a, b) = ab.

Решение 1

Из определения НОД следует, что  a = a' НОД(a, b),  b = b' НОД(a, b),  где  НОД(a', b') = 1.  Из определения НОК следует, что  НОК(a, b) = a'b' НОД(a, b).  Поэтому  НОД(a, b)НОК(a, b) = a'b' НОД(a, b)НОД(a, b) = ab.

Решение 2

См. задачу 60532 в).

Источники и прецеденты использования

книга

Автор Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.

Год издания 1994

Название Ленинградские математические кружки

Издательство Киров: "АСА"

Издание 1

глава

Номер 4

Название Делимость и остатки

Тема Теория чисел. Делимость

задача

Номер 014

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Решение:

Для начала давайте разберемся с терминами:

- НОД - наибольший общий делитель двух чисел, обозначается как gcd(a, b). - НОК - наименьшее общее кратное двух чисел, обозначается как lcm(a, b).

Теперь рассмотрим утверждение: для каждых двух натуральных чисел a и b истинно равенство: (a×b):НОД(a;b)=НОК(a;b).

Мы можем доказать это утверждение, используя свойства НОД и НОК.

Для начала, давайте рассмотрим НОД(a, b). По определению, НОД(a, b) является наибольшим целым числом, которое делит оба числа a и b без остатка.

Теперь, рассмотрим НОК(a, b). По определению, НОК(a, b) является наименьшим положительным числом, которое делится на оба числа a и b без остатка.

Теперь давайте рассмотрим выражение (a×b):НОД(a, b). Поскольку НОД(a, b) делит a и b без остатка, то (a×b):НОД(a, b) будет равно a×b, деленное на НОД(a, b).

Теперь мы можем использовать свойство НОК: НОК(a, b) = (a×b)/НОД(a, b), что подтверждает истинность утверждения.

Таким образом, для каждых двух натуральных чисел a и b истинно равенство: (a×b):НОД(a;b)=НОК(a;b).

Надеюсь, это объяснение было полезным! Если у вас есть еще вопросы или нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь спрашивать.