Question

50 балов! Знайти площу фігури, обмеженої лініями xy=4 і y=x^2

Answer 1

Ответ:

1) Находим точки пересечения функций у=4-х² и у=2-х

4-х²=2-х

х²-х-2=0

х₁*х₂=-2

х₁+х₂=1 => x₁=2; x₂=-1

2) Находим площадь фигуры, заключённой между графиками функций

у=4-х² и у=2-х

Answer 2

Ця задача полягає в знаходженні площі обмеженої фігури між лініями \(xy = 4\) та \(y = x^2\). Щоб знайти цю площу, потрібно знайти точки їх перетину та обчислити інтеграл площі під криволінійною областю.

Спочатку знайдемо точки перетину обох кривих. Щоб це зробити, прирівняємо рівняння \(xy = 4\) та \(y = x^2\):

\[x^3 = 4\]

Розв'язавши це рівняння, отримаємо значення \(x\). Щоб знайти площу між цими двома кривими, ми інтегруємо функцію \(y = x^2\) від \(x\) до значення \(x\), де вони перетинаються.

\[S = \int_{x_1}^{x_2} (x^2 - \frac{4}{x}) dx\]

Знайдемо точки перетину \(x_1\) та \(x_2\):

\[x^3 = 4\] \[x = \sqrt[3]{4}\]

Отже, \(x_1 = \sqrt[3]{4}\), \(x_2 = -\sqrt[3]{4}\) (так як криві симетричні відносно осі y).

Тепер, обчислимо площу:

\[S = \int_{-\sqrt[3]{4}}^{\sqrt[3]{4}} (x^2 - \frac{4}{x}) dx\]

Після обчислень ми отримаємо значення площі фігури, обмеженої цими двома кривими.