Question

Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 10 см, а його площа 24 см². Знайти радіус кола, вписаного у цей трикутник.

Answer 1

Ответ:

Радиус окружности, вписанной в этот треугольник равен 2 см.

Пошаговое объяснение:

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, а его площадь 24 см2. Найти радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Дано: ΔАВС - прямоугольный;

ВС = 10 см - гипотенуза;

S(ABC) = 24 см².

Окр.О,r - вписана в ΔАВС.

Найти: r - радиус вписанной окружности.

Решение:

• Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник найдем по формуле:

         $\displaystyle\bf \boxed {r=\frac{a+b-c}{2} }$,

где а и b - катеты, с - гипотенуза.

Гипотенуза нам известна с = ВС = 10 см.

Надо найти катеты.

Пусть катеты равны а см и b см.

Также нам известна площадь S(ABC) = 24 см²

• Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

         $\displaystyle\bf \boxed {S=\frac{1}{2}ab }$

То есть:

$\displaystyle\bf \frac{1}{2}ab=24\;\;\;\Rightarrow \;\;\;ab=48$

• Теорема Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$\displaystyle\bf \Rightarrow a^2+b^2 = 100$

Получили систему уравнений:

$\displaystyle\bf \left \{ {{a^2+b^2=100} \atop {ab=48}} \right.$

Умножим второе уравнение на 2 и сложим уравнения:

$\displaystyle\bf \;\;\; \left \{ {{a^2+b^2=100} \atop {ab=48\;\;\;|\cdot2}} \right.\\\\ + \left \{ {{a^2+b^2=100} \atop {2ab=96$

    a² + 2ab + b² = 196

    (a + b)² = 196

⇒ (a + b) = 14

* отрицательные значения не берем, так как они не соответствуют условию задачи.

Зная сумму катетов, можем найти радиус:

$\displaystyle\bf r=\frac{14-10}{2} =2\;_{(CM)}$

Радиус окружности, вписанной в этот треугольник равен 2 см.

Answer 2

Для розв'язання цього завдання ми можемо скористатися формулою, яка пов'язує площу прямокутного трикутника з його гіпотенузою та радіусом вписаного кола.

Формула для площі прямокутного трикутника:

Площа прямокутного трикутника може бути обчислена за формулою: Площа = (1/2) * гіпотенуза * катет.

Формула для радіуса вписаного кола:

Радіус вписаного кола може бути обчислений за формулою: Радіус = Площа / (півпериметр), де півпериметр дорівнює (гіпотенуза + катет1 + катет2) / 2.

Розв'язок:

1. Маємо гіпотенузу прямокутного трикутника, яка дорівнює 10 см. 2. Маємо площу прямокутного трикутника, яка дорівнює 24 см². 3. За формулою для площі прямокутного трикутника, можемо обчислити катети: Площа = (1/2) * гіпотенуза * катет Підставляємо відомі значення: 24 = (1/2) * 10 * катет Розв'язуємо рівняння: 48 = 10 * катет катет = 48 / 10 = 4.8 см. 4. Знаходимо півпериметр: Півпериметр = (гіпотенуза + катет1 + катет2) / 2 Підставляємо відомі значення: Півпериметр = (10 + 4.8 + 4.8) / 2 = 9.8 см. 5. За формулою для радіуса вписаного кола, обчислюємо радіус: Радіус = Площа / (півпериметр) Підставляємо відомі значення: Радіус = 24 / 9.8 ≈ 2.45 см.

Отже, радіус кола, вписаного у цей прямокутний трикутник, приблизно дорівнює 2.45 см.

[[1]]