Question

Решите задачу по теории вероятности: Сколько раз нужно бросить монету, чтобы с вероятностью не меньшей, чем P=0,9 быть уверенным, что герб выпадет хотя бы один раз.

Answer 1

Обозначим как $A_n$ событие "за n бросков герб выпал хотя бы один раз". Тогда событием $\overline{A_n}$ будет событие "за n бросков герб не выпал ни разу". Из обычной формулы Бернулли следует, что $\mathbb{P}(\overline{A_n})=0.5^n=2^{-n}$. Кроме того, сумма вероятностей обратных событий равна 1, значит, требуемое условие записывается так:
$\mathbb{P}(A_n) \geq 0.9;\\ 1-\mathbb{P}(\overline{A_n}) \geq 0.9;\\ \mathbb{P}(\overline{A_n}) \leq 0.1;\\ 2^{n} \geq 10$
Если бы числа были похуже, то нужно было бы вычислять двоичный логарифм и округлять вверх, но в данном случае очевидно, что n=4.
Ответ: 4 раза.

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться дополнением к вероятности. Вероятность того, что герб НЕ выпадет на одном броске монеты равна 1/2, так как у нас есть две равновероятные стороны монеты - орел и герб.

Теперь давайте рассмотрим вероятность того, что герб не выпадет N раз подряд. Эта вероятность равна (1/2)^N, так как вероятности независимых событий умножаются.

Теперь мы хотим найти N такое, чтобы вероятность того, что герб не выпадет N раз подряд, была меньше или равна P = 0.9.

(1/2)^N <= 0.9

Для нахождения N, мы можем прологарифмировать обе стороны неравенства:

N * log(1/2) <= log(0.9)

Теперь делим обе стороны на log(1/2) (заметьте, что log(1/2) отрицательно):

N >= log(0.9) / log(1/2)

N >= log(0.9) / (-log(2))

N >= log(0.9) / log(2)

N >= 0.152 / 0.301

N >= 0.506

N должно быть целым числом, поэтому округлим это до ближайшего большего целого числа.

N >= 2

Таким образом, чтобы быть уверенным с вероятностью не меньшей, чем P = 0,9, что герб выпадет хотя бы один раз, нужно бросить монету как минимум 2 раза.