Question

Найдите наибольшее целое решение неравенства: (x-2)^2(x+4)^3/x+7 меньше или равно 0Можно пожалуйста пошаговое решение

Answer 1

Відповідь:

х є (-7 ; -4] ∪ {2}

Покрокове пояснення:

$\frac{(x-2)^2(x+4)^3}{x+7} \leq 0$

Для того что бы решить данное неравенство, из вида $\frac{p}{q} \leq 0$ превратим в вид $p*q\leq 0,(q\neq 0)$

(х-2)²(х+4)³(х+7)≤0          (х+7)≠0

Для того, что бы решить такое неравенство, нужно сначала решить уравнение, и найти промежутки:

(х-2)²(х+4)³(х+7)=0  

(х-2)=0                     (х+4)=0                          (х+7)≠0

  х=2                           х=-4                               х≠-7

Три точки делают 4 промежутка, проверим каждый из них:

1) Из промежутка (-∞ ; -7) возьмем число -10

$\frac{(-10-2)^2(-10+4)^3}{-10+7} \leq 0\\\frac{(-12)^2(-6)^3}{-3} \leq 0\\\frac{144*(-216)}{-3} \leq 0$  

Неверно, так как минус на минус даст плюс, число > 0

2) Из промежутка (-7 ; -4) возьмем число -5

$\frac{(-5-2)^2(-5+4)^3}{-5+7} \leq 0\\\frac{(-7)^2(-1)^3}{2} \leq 0\\\frac{49*(-1)}{2} \leq 0\\-24,5\leq 0$Верно, промежуток подходит

3) Из промежутка (-4 ; 2) возьмем число 0

$>Неверно, число  > 0, промежуток не подходит</p><p>4) Из промежутка (2 ; +∞) возьмем число 3</p><p><img src=$Неверно, число  > 0, промежуток не подходит

Тогда нам подойдет только промежуток (-7 ; -4) и 2 числа, 4 и 2, тогда ответ будет таким: х є (-7 ; -4] ∪ {2}

Answer 2

Решение неравенства:

Для начала, давайте разберемся с неравенством и найдем его корни.

1. Первым шагом, приравняем выражение в неравенстве к нулю:

(x - 2)^2 * (x + 4)^3 / (x + 7) = 0

2. Затем, установим числитель равным нулю:

(x - 2)^2 * (x + 4)^3 = 0

3. Разложим каждый множитель на множители:

(x - 2)^2 = 0 и (x + 4)^3 = 0

4. Решим каждое уравнение отдельно:

- Для (x - 2)^2 = 0: x - 2 = 0 x = 2

- Для (x + 4)^3 = 0: x + 4 = 0 x = -4

Теперь у нас есть два корня уравнения: x = 2 и x = -4.

Анализ интервалов:

Теперь, чтобы решить неравенство, нужно провести анализ интервалов и определить, когда выражение (x - 2)^2 * (x + 4)^3 / (x + 7) больше или меньше нуля.

1. Найдем значения x, которые делают выражение равным нулю:

- x = 2 - x = -4 2. Построим числовую ось и отметим на ней найденные корни:

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 * * o * * (где * - корни, o - положение неравенства) 3. Проверим интервалы между корнями на знак выражения:

- Возьмем интервал (-∞, -4) и выберем точку внутри интервала, например x = -5: Подставим x = -5 в выражение: (-5 - 2)^2 * (-5 + 4)^3 / (-5 + 7) = (-7)^2 * (-1)^3 / 2 = 49 * (-1) / 2 = -49 / 2 Получили отрицательное число. - Возьмем интервал (-4, 2) и выберем точку внутри интервала, например x = 0: Подставим x = 0 в выражение: (0 - 2)^2 * (0 + 4)^3 / (0 + 7) = (-2)^2 * (4)^3 / 7 = 4 * 64 / 7 = 256 / 7 Получили положительное число. - Возьмем интервал (2, +∞) и выберем точку внутри интервала, например x = 3: Подставим x = 3 в выражение: (3 - 2)^2 * (3 + 4)^3 / (3 + 7) = (1)^2 * (7)^3 / 10 = 1 * 343 / 10 = 343 / 10 Получили положительное число.

На основе анализа интервалов, можем сделать вывод, что выражение (x - 2)^2 * (x + 4)^3 / (x + 7) меньше или равно нулю на интервале (-∞, -4] объединенном с [2, +∞).

Таким образом, наибольшим целым решением неравенства будет x = 2.