Question

Сумма корней уравнения ax^2-(4a+1)x-5a=0 равна 5. Найдите произведение корней.

Answer 1

Ответ:

Произведение корней равно -5

Пошаговое объяснение:

Сумма корней уравнения  равна 5. Найдите произведение корней.

Теорема Виета:

Если х₁ и х₂ -корни полного квадратного уравнения (a≠1):

ах²+bx+c=0

тогда:

$\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a} \\\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a} \end{cases}$

Дано полное квадратное уравнение:

$\underset{\bf a}{\underbrace{a}}\cdot x^{2} \underset{\bf b}{\underbrace{-(4a+1)}}\cdot x\underset{\bf c}{\underbrace{-5a}}=0$

1) Убедимся, что уравнение имеет два корня.

• Квадратное уравнение имеет два корня, если дискриминант больше 0 (D>0).

$\boxed {D=b^{2} -4ac}$

Значит:

$D= (-(4a+1))^2-4\cdot a\cdot (-5a)=(-1)^2(4a+1)^2+20a^2=\\\\=\underset{ > 0}{\underbrace{(4a+1)^2}}+20\cdot\underset{ > 0}{\underbrace{a^2}} > \bf 0$

Так как квадрат любого числа >0, и сумма положительных чисел - положительное число ⇒ D>0.

Следовательно уравнение действительно имеет 2 корня.

2) Произведение корней будет равно:

$x_1\cdot x_2=\dfrac{-5a}{a} =\bf-5$

#SPJ

Answer 2

Ответ: Произведение корней уравнения равно -5. Объяснение: Пусть x1 и x2 - корни уравнения ax^2-(4a+1)x-5a=0. Тогда по теореме Виета, x1+x2 = (4a+1)/a и x1x2 = -5a/a = -5. Из условия задачи, x1+x2 = 5, поэтому (4a+1)/a = 5. Отсюда следует, что a = 1/4. Подставляя это значение в выражение для x1x2, получаем x1x2 = -5*(1/4)/(1/4) = -5.