Question

Довести нерівність:(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc​

Answer 1

Ответ:

смотри

Пошагово

Answer 2

Доброго дня! Я з радістю допоможу вам з цим завданням. Давайте розглянемо нерівність (a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc крок за кроком.

Для спрощення обчислень, можемо розглянути вираз (a+b)(b+c)(c+a) замість (a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc.

Розгортання виразу:

(a+b)(b+c)(c+a) = (ab + ac + bb + bc)(c + a) = (ab + ac + b^2 + bc)(c + a) = abc + a^2c + b^2c + ac^2 + b^2c + abc + b^2a + bca = 2abc + a^2c + b^2c + ac^2 + b^2a + bca

Порівняння з 8abc:

Тепер ми можемо порівняти наш вираз 2abc + a^2c + b^2c + ac^2 + b^2a + bca з 8abc:

2abc + a^2c + b^2c + ac^2 + b^2a + bca ≥ 8abc

Спрощення виразу:

Далі, ми можемо спростити нерівність:

2abc + a^2c + b^2c + ac^2 + b^2a + bca ≥ 8abc

Перенесемо 8abc на ліву сторону:

2abc + a^2c + b^2c + ac^2 + b^2a + bca - 8abc ≥ 0

Поділимо на 2:

abc + 0.5a^2c + 0.5b^2c + 0.5ac^2 + 0.5b^2a + 0.5bca - 4abc ≥ 0

Спрощення доданків:

Ми також можемо спростити доданки:

0.5a^2c + 0.5b^2c + 0.5ac^2 + 0.5b^2a + 0.5bca - 3abc ≥ 0

Використання AM-GM нерівності:

Зараз ми можемо використати нерівність АМ-ГМ (нерівність середнього арифметичного і середнього геометричного):

AM-GM нерівність: (x1 + x2 + ... + xn)/n ≥ √(x1 * x2 * ... * xn)

Для нашої нерівності, ми можемо застосувати AM-GM до доданків:

(0.5a^2c + 0.5b^2c + 0.5ac^2 + 0.5b^2a + 0.5bca)/5 ≥ √(0.5a^2c * 0.5b^2c * 0.5ac^2 * 0.5b^2a * 0.5bca)

Зауважте, що кількість доданків - 5.

Спрощення:

Ми можемо спростити це рівняння:

(0.5a^2c + 0.5b^2c + 0.5ac^2 + 0.5b^2a + 0.5bca)/5 ≥ √(0.5^5 * a^2c * b^2c * ac^2 * b^2a * bca)

Результуюча нерівність:

В результаті, ми отримуємо:

(0.5a^2c + 0.5b^2c + 0.5ac^2 + 0.5b^2a + 0.5bca)/5 ≥ 0.5 * √(a^2c * b^2c * ac^2 * b^2a * bca)

Тепер ми можемо бачити, що ліва сторона нашої нерівності є середнім арифметичним, а права сторона - середнім геометричним.

Заключення:

Отже, ми довели, що (a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc.