Question

Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює р см, а бічне ребро утворює з площиною основи кут 45°. Знайдіть площу бічної поверхні та об’єм піраміди.

Answer 1

Площа бічної поверхні правильної трикутної піраміди дорівнює половині добутку периметру основи на довжину бічного ребра. Оскільки основа є правильним трикутником, то периметр дорівнює 3р, де р - довжина сторони основи, а довжина бічного ребра дорівнює р * √2. Тому площа бічної поверхні рівна:

Sб = 1/2 * 3р * р * √2 = 3/2 * р² * √2

Об'єм правильної трикутної піраміди дорівнює одній третині добутку площі основи на висоту піраміди. Висоту піраміди можна знайти за допомогою теореми Піфагора, оскільки бічне ребро і висота підібрані так, щоб утворювати кут 45 градусів. Довжина висоти буде рівна р * (1 + √2) / 2. Тоді об'єм піраміди дорівнює:

V = 1/3 * (р² * √3 / 4) * р * (1 + √2) / 2 = р³ * √2 / 6

Answer 2

Спочатку розглянемо ситуацію. У нас є правильна трикутна піраміда з основою у формі рівностороннього трикутника. Сторона основи цього трикутника дорівнює \( r \) см. Також відомо, що бічне ребро піраміди утворює з площиною основи кут \( 45^\circ \).

Знаходження площі бічної поверхні:

Площа бічної поверхні правильної піраміди може бути обчислена за формулою: \( S = \frac{1}{2} \cdot P \cdot l \), де \( P \) - периметр основи, \( l \) - довжина бічного ребра.

Оскільки основа - рівносторонній трикутник, то його периметр \( P \) дорівнює \( 3 \times r \), де \( r \) - сторона основи.

Тепер потрібно знайти довжину бічного ребра \( l \). Знаючи, що він утворює з площиною основи кут \( 45^\circ \), можемо скористатися тригонометричними співвідношеннями.

За теоремою косинусів для трикутника, де \( l \) - бічне ребро, \( r \) - сторона основи, \( \alpha \) - кут між бічним ребром та площиною основи:

\[ l^2 = r^2 + r^2 - 2 \cdot r \cdot r \cdot \cos \alpha \]

З оголошеною умовою \( \alpha = 45^\circ \), тому \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\):

\[ l^2 = r^2 + r^2 - 2 \cdot r \cdot r \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ l^2 = 2r^2 - r^2\sqrt{2} \] \[ l^2 = r^2(2 - \sqrt{2}) \] \[ l = r\sqrt{2 - \sqrt{2}} \]

Тепер можемо обчислити площу бічної поверхні:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot P \cdot l \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 3r \cdot r\sqrt{2 - \sqrt{2}} \] \[ S = \frac{3}{2} \cdot r^2 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}} \]

Знаходження об’єму піраміди:

Об’єм правильної піраміди можна знайти за формулою: \( V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h \), де \( S_{\text{осн}} \) - площа основи, \( h \) - висота піраміди.

Площа рівностороннього трикутника (основи) дорівнює \( \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot r^2 \).

Висоту піраміди можна знайти використовуючи теорему Піфагора для прямокутного трикутника, утвореного половиною бічного ребра, висотою піраміди і радіусом основи:

\[ h^2 = l^2 - \left(\frac{r}{2}\right)^2 \] \[ h^2 = r^2(2 - \sqrt{2}) - \frac{r^2}{4} \] \[ h^2 = \frac{4r^2(2 - \sqrt{2}) - r^2}{4} \] \[ h^2 = \frac{8r^2 - 4\sqrt{2}r^2 - r^2}{4} \] \[ h^2 = \frac{7r^2 - 4\sqrt{2}r^2}{4} \] \[ h^2 = \frac{r^2(7 - 4\sqrt{2})}{4} \] \[ h = \frac{r}{2} \cdot \sqrt{7 - 4\sqrt{2}} \]

Тепер можемо обчислити об’єм піраміди:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h \] \[ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot r^2 \cdot \frac{r}{2} \cdot \sqrt{7 - 4\sqrt{2}} \] \[ V = \frac{\sqrt{3}}{24} \cdot r^3 \cdot \sqrt{7 - 4\sqrt{2}} \]

Отже, площа бічної поверхні піраміди дорівнює \( \frac{3}{2} \cdot r^2 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}} \), а об’єм піраміди - \( \frac{\sqrt{3}}{24} \cdot r^3 \cdot \sqrt{7 - 4\sqrt{2}} \).