Question

Равнобочная трапеция с основаниями 12 см и 24 см и высотой 8 см в первый раз вращается около меньшего основания, а во второй — около большего. Сравните объемы тел вращения. Помогите пожалуйста!

Answer 1

Объем тела вращения можно найти по формуле:

V = π * ∫(от a до b) y^2 dx

где y - расстояние от точки на плоскости до оси вращения, a и b - границы интегрирования по оси x.

Для первого случая, когда трапеция вращается около меньшего основания, ось вращения проходит через середину меньшей стороны. Расстояние от точки плоскости до оси вращения равно y = 6 - x/3 (где x - расстояние от точки плоскости до меньшего основания). Границы интегрирования: от 0 до 12.

Тогда объем тела вращения для первого случая будет равен:

V1 = π * ∫(от 0 до 12) (6 - x/3)^2 dx ≈ 1050,39 см^3

Для второго случая, когда трапеция вращается около большего основания, ось вращения проходит через середину большей стороны. Расстояние от точки плоскости до оси вращения равно y = 4 + x/3 (где x - расстояние от точки плоскости до меньшего основания). Границы интегрирования: от 0 до 24.

Тогда объем тела вращения для второго случая будет равен:

V2 = π * ∫(от 0 до 24) (4 + x/3)^2 dx ≈ 2777,46 см^3

Следовательно, объем тела вращения для второго случая будет больше, чем для первого:

V2 > V1

Ответ: объем тела вращения для второго случая больше, чем для первого.

Answer 2

Объемы тел вращения равнобочной трапеции

Для сравнения объемов тел вращения равнобочной трапеции с основаниями 12 см и 24 см, и высотой 8 см, в первом случае вращение происходит около меньшего основания, а во втором случае - около большего основания.

Чтобы найти объемы тел вращения, мы можем использовать формулу для объема тела вращения вокруг оси. Объем тела вращения можно найти, используя интеграл от функции площади поперечного сечения тела вращения.

Для первого случая, когда трапеция вращается около меньшего основания, поперечное сечение будет иметь форму окружности с радиусом, равным половине меньшего основания трапеции. Таким образом, площадь поперечного сечения будет равна π * (6 см)^2 = 36π см^2.

Для второго случая, когда трапеция вращается около большего основания, поперечное сечение будет иметь форму окружности с радиусом, равным половине большего основания трапеции. Таким образом, площадь поперечного сечения будет равна π * (12 см)^2 = 144π см^2.

Теперь, чтобы найти объемы тел вращения, мы можем использовать формулу для объема цилиндра, где площадь основания умножается на высоту.

Для первого случая, объем тела вращения будет равен 36π см^2 * 8 см = 288π см^3.

Для второго случая, объем тела вращения будет равен 144π см^2 * 8 см = 1152π см^3.

Таким образом, объем тела вращения во втором случае (около большего основания) будет в 4 раза больше, чем объем тела вращения в первом случае (около меньшего основания).

Пожалуйста, обратите внимание, что данные расчеты основаны на предположении, что трапеция имеет равные боковые стороны и что вращение происходит вокруг оси, перпендикулярной плоскости трапеции.