Question

Знайти первісну від функції f(x)=5x^4+3X^2-4, графік якої проходить через точку A (1; 12)

Answer 1

Відповідь:Для знаходження первісної від функції f(x) необхідно інтегрувати вираз f(x) з урахуванням константи інтегрування C:

F(x) = ∫f(x)dx + C

У нашому випадку f(x) = 5x^4 + 3x^2 - 4. Щоб знайти первісну F(x), потрібно проінтегрувати цю функцію:

F(x) = ∫(5x^4 + 3x^2 - 4)dx = x^5 + x^3 - 4x + C

Для визначення значення константи інтегрування С використаємо умову, що графік первісної функції проходить через точку A (1; 12):

12 = F(1) = 1^5 + 1^3 - 4*1 + C

C = 12 - 1 - 1 + 4 = 14

Отже, первісна функція має вигляд:

F(x) = x^5 + x^3 - 4x + 14.

Покрокове пояснення:

Answer 2

Щоб знайти первісну від функції \(f(x) = 5x^4 + 3x^2 - 4\) та знайти константу інтегрування, спочатку знайдемо антипохід кожного члена функції.

1. Для \(5x^4\): Антипохід від \(5x^4\) буде \(\frac{5}{5} \cdot \frac{1}{5} x^5 = x^5\). 2. Для \(3x^2\): Антипохід від \(3x^2\) буде \(\frac{3}{3} \cdot \frac{1}{3} x^3 = x^3\). 3. Для \(-4\): Антипохід від \(-4\) буде \(-4x\).

Тепер, об'єднавши ці результати, отримаємо загальну первісну:

\[F(x) = x^5 + x^3 - 4x + C,\]

де \(C\) - константа інтегрування.

Тепер використаємо умову, що графік проходить через точку \(A(1, 12)\). Підставимо значення \(x = 1\) і \(y = 12\) у рівняння:

\[12 = 1^5 + 1^3 - 4 \cdot 1 + C.\]

Спростимо це рівняння і знайдемо значення константи \(C\):

\[12 = 1 + 1 - 4 + C.\]

\[C = 14.\]

Таким чином, остаточна первісна з константою інтегрування \(C\) є:

\[F(x) = x^5 + x^3 - 4x + 14.\]