Question

Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции y= x4−8x3+ 18x2−48x+ 31.

Answer 1

Найти промежутки выпуклости и точки перегиба

функции y= x^4−8x^3+ 18x²−48x+ 31.

Сначала находим точки перегиба.

Находим первую производную.

y’ = 4x^3 − 24x² + 36x – 48

Находим вторую производную.

y’’ = 12x² - 48x + 36 = 12(x² - 4x + 3).

Приравняв её нулю, находим точки перегиба.

12(x² - 4x + 3) = 0. Приравниваем нулю множитель в скобках.

x² - 4x + 3 = 0. D = 16 – 4*1*3 = 4. √D = +-2.

x_1 = (4 – 2)/2 = 1,

x_2=(4 + 2)/2 = 3.

Найдены 2 точки перегиба: х = 1 и х = 3.

Далее приступаем к анализу выпуклости и вогнутости.

Дважды дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда её                                                                 вторая производная неотрицательна на этом интервале.

Находим знаки второй производной на промежутках между точками перегиба.

x 0 1 2 3 4

y 36 0 -12 0 36

Отсюда определяем:

На промежутке 1 < x < 3 график функции выпуклый,

x < 1 и x > 3 график функции вогнутый.

Answer 2

Для нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба функции y = x^4 - 8x^3 + 18x^2 - 48x + 31, мы должны найти вторую производную функции и проанализировать ее поведение.

1. Найдем первую производную функции y: y' = 4x^3 - 24x^2 + 36x - 48.

2. Найдем вторую производную функции y: y'' = 12x^2 - 48x + 36.

3. Чтобы найти точки перегиба, приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение: 12x^2 - 48x + 36 = 0.

4. Решим это квадратное уравнение: Дискриминант D = (-48)^2 - 4 * 12 * 36 = 2304 - 1728 = 576. Корни уравнения: x1 = (48 + √576) / 24 = (48 + 24) / 24 = 72 / 24 = 3, x2 = (48 - √576) / 24 = (48 - 24) / 24 = 24 / 24 = 1.

Таким образом, у нас есть две точки перегиба: x = 1 и x = 3.

5. Теперь проанализируем знаки второй производной в интервалах между точками перегиба и за пределами этих интервалов.

Для x < 1: y'' = 12x^2 - 48x + 36 = 12(x^2 - 4x + 3) = 12(x - 1)(x - 3). Значит, в этом интервале вторая производная положительна, и функция выпукла.

Для 1 < x < 3: y'' = 12x^2 - 48x + 36 = 12(x - 1)(x - 3). Значит, в этом интервале вторая производная отрицательна, и функция вогнута.

Для x > 3: y'' = 12x^2 - 48x + 36 = 12(x - 1)(x - 3). Значит, в этом интервале вторая производная положительна, и функция выпукла.

6. Таким образом, у нас есть следующие промежутки выпуклости и вогнутости: - Функция выпукла на интервале (-∞, 1) и (3, +∞). - Функция вогнута на интервале (1, 3).

Точки перегиба: - x = 1 (вогнутость переходит в выпуклость). - x = 3 (выпуклость переходит в вогнутость).