Question

Знайти невизначений інтеграл: ∫sin(3x+1)dx

Answer 1

∫sin(3x+1)dx = [Замена: t=3x+1] = 1/3 * ∫sin(t)dt =

= 1/3 * -cos(t) = 1/3 * -cos(3x+1) = -(сos(3x+1))/3 + C, C - const.

Answer 2

Звісно, давайте розглянемо вирішення невизначеного інтегралу:

\[ \int \sin(3x + 1) \,dx \]

Щоб знайти цей інтеграл, ми використаємо метод інтегрування за підстановкою. Зазвичай, вибирається вираз у дужках для підстановки. У цьому випадку підставимо \( u = 3x + 1 \), тоді \( du/dx = 3 \), звідки \( dx = du/3 \).

Підставимо це у наш інтеграл:

\[ \int \sin(3x + 1) \,dx = \int \sin(u) \cdot \frac{1}{3} \,du \]

Тепер ми можемо інтегрувати відносно \( u \):

\[ \frac{1}{3} \int \sin(u) \,du \]

Інтеграл від \(\sin(u)\) є \(-\cos(u)\), тому:

\[ \frac{1}{3} \int \sin(u) \,du = -\frac{1}{3} \cos(u) + C \]

Тут \( C \) - це константа інтегрування.

Тепер, повертаємося до змінної \( x \), використовуючи \( u = 3x + 1 \):

\[ -\frac{1}{3} \cos(u) + C = -\frac{1}{3} \cos(3x + 1) + C \]

Отже, невизначений інтеграл виглядає наступним чином:

\[ \int \sin(3x + 1) \,dx = -\frac{1}{3} \cos(3x + 1) + C \]

де \( C \) - константа інтегрування.