Question

Знайти границі функції:1)limx прямує до 3 3x-9/x^3-27. 2)lim x безкінечнсть x^4+10-3/2x^5-x^3+8. 3)limx 0 sin4x/5x ///// Знайти похідні даних функцій:1)y=x/4+sinx 2)y=sin(cosx^2) 3)y=x^x^3 //////Знайти невизначений інтеграл 1)інтеграл(е^5x+sin(4x+1))dx 2)інтеграл(4sin^2x+5cos^2x)dx0

Answer 1

Решение на фотографии:

Answer 2

1. Обчислення границі:

   $$\lim_{{x \to 3}} \frac{{3x - 9}}{{x^3 - 27}}$$

   Спрощуємо вираз у чисельнику: $3x - 9 = 3(x - 3)$, а в знаменнику $x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)$. Отже,

   $$\lim_{{x \to 3}} \frac{{3(x - 3)}}{{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)}} = \lim_{{x \to 3}} \frac{3}{{x^2 + 3x + 9}} = \frac{3}{{3^2 + 3 \cdot 3 + 9}} = \frac{3}{27} = \frac{1}{9}.$$

2. Обчислення границі:

   $$\lim_{{x \to \infty}} \frac{{x^4 + 10 - 3}}{{2x^5 - x^3 + 8}}$$

   Для обчислення границі ділимо кожний член на $x^5$:

   $$\lim_{{x \to \infty}} \frac{{\frac{{x^4}}{x^5} + \frac{{10}}{x^5} - \frac{{3}}{x^5}}}{{2 - \frac{{1}}{x^2} + \frac{{8}}{x^5}}}$$

   Оскільки $x \to \infty$, то всі дроби $\frac{1}{x^2}$ та $\frac{1}{x^5}$ прямують до 0:

   $$\frac{{0 + 0 - 0}}{{2 - 0 + 0}} = 0.$$

3. Обчислення границі:

   $$\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(4x)}}{{5x}}$$

   Знаючи, що $\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(x)}}{x} = 1$, отримуємо:

   $$\lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(4x)}}{{5x}} = \frac{4}{5} \cdot \lim_{{x \to 0}} \frac{{\sin(4x)}}{{4x}} = \frac{4}{5} \cdot 1 = \frac{4}{5}.$$

Тепер перейдемо до знаходження похідних:

1. $y = \frac{x}{4} + \sin(x)$

   $$y' = \frac{1}{4} + \cos(x).$$

2. $y = \sin(\cos(x^2))$ Використаємо ланцюжок правил:

   $$y' = \cos(\cos(x^2)) \cdot (-\sin(x^2)) \cdot 2x = -2x\sin(x^2)\cos(\cos(x^2)).$$