Question

Z=ctg (3x − 2y^2) помогите найти частные производные функции многих переменных

Answer 1

$z=\mathrm{ctg}\, (3x - 2y^2)$

Частная производная по какой-либо переменной вычисляется в предположении, что все остальные переменные являются константами.

$z'_x=\left(\mathrm{ctg}\, (3x - 2y^2)\right)'_x=-\dfrac{1}{\sin^2 (3x - 2y^2)} \cdot (3x - 2y^2)'_x=$

$=-\dfrac{1}{\sin^2 (3x - 2y^2)} \cdot (3 - 0)=\boxed{-\dfrac{3}{\sin^2 (3x - 2y^2)}}$

$z'_y=\left(\mathrm{ctg}\, (3x - 2y^2)\right)'_y=-\dfrac{1}{\sin^2 (3x - 2y^2)} \cdot (3x - 2y^2)'_y=$

$=-\dfrac{1}{\sin^2 (3x - 2y^2)} \cdot (0 - 2\cdot 2y)=-\dfrac{1}{\sin^2 (3x - 2y^2)} \cdot ( - 4y)=\boxed{\dfrac{4y}{\sin^2 (3x - 2y^2)} }$

Answer 2

Конечно, давайте найдем частные производные функции \(Z = \cot(3x - 2y^2)\) по переменным \(x\) и \(y\). Для этого воспользуемся правилами дифференцирования.

1. По переменной \(x\): \[ \frac{\partial Z}{\partial x} = -\csc^2(3x - 2y^2) \cdot \frac{\partial}{\partial x}(3x - 2y^2) \]

Рассмотрим часть с производной по \(x\): \[ \frac{\partial}{\partial x}(3x - 2y^2) = 3 \]

Подставим обратно в исходное уравнение: \[ \frac{\partial Z}{\partial x} = -3\csc^2(3x - 2y^2) \]

2. По переменной \(y\): \[ \frac{\partial Z}{\partial y} = -\csc^2(3x - 2y^2) \cdot \frac{\partial}{\partial y}(3x - 2y^2) \]

Рассмотрим часть с производной по \(y\): \[ \frac{\partial}{\partial y}(3x - 2y^2) = -4y \]

Подставим обратно в исходное уравнение: \[ \frac{\partial Z}{\partial y} = 4y\csc^2(3x - 2y^2) \]

Таким образом, частные производные функции \(Z\) по переменным \(x\) и \(y\) равны соответственно:

\[ \frac{\partial Z}{\partial x} = -3\csc^2(3x - 2y^2) \]

\[ \frac{\partial Z}{\partial y} = 4y\csc^2(3x - 2y^2) \]