Question

Найдите квадрат площади равнобедренной трапеции, если её периметр 10, острый угол 60°, а разность оснований 2. ​

Answer 1

Ответ:

27 см^4

Пошаговое объяснение:

Проведем высоты ВН и СК трапеции. По условию, разность оснований равна 2 см, тогда АН + ДК = 2 см, а так как трапеция равнобедренная, то АН = ДН = 2 / 1 = 1 см.

В прямоугольном треугольнике АВН угол ВАН = 600, тогда угол АВН = 180 – 90 – 60 = 300. Катет АН лежит против угла 300, тогда гипотенуза АВ = 2 * ВН = 2 * 1 = 2 см.

Определим высоту ВН. ВН = АВ * Sin60 = 2 * √3 / 2 = √3 см.

Пусть длина ВС = Х см, тогда и НК = Х см, а АД = Х + 2 см.

По условию, периметр трапеции равен 10 см. Р = 10 = АВ + ВС + СД + АД = 2 + Х + 2 + (Х + 2).

2 * Х = 10 – 6 = 4.

Х = ВС = 4 / 2 = 2 см.

АД = 2 + 2 = 4 см.

Определим площадь трапеции.

S = (ВС + АД) * ВН / 2 = (2 + 4) * √3 / 2 = 3 * √3 см2.

Тогда S2 = (3 * √3)2 = 27 cм4.

Ответ: Квадрат площади равен 27 см^4.

Answer 2

Давайте обозначим данную равнобедренную трапецию следующим образом:

- \(a\) и \(b\) - основания трапеции, - \(c\) - боковая сторона трапеции (равная у двух равных боковых сторон), - \(h\) - высота трапеции, - \(P\) - периметр трапеции.

Из условия задачи у нас есть следующие данные:

\[ \begin{align*} \text{Периметр:} \quad P &= 10, \\ \text{Разность оснований:} \quad a - b &= 2, \\ \text{Острый угол:} \quad \angle A &= 60^\circ. \end{align*} \]

Периметр трапеции можно выразить как сумму всех её сторон:

\[ P = a + b + 2c. \]

Так как \(a - b = 2\), мы можем выразить \(a\) и \(b\) через \(b\):

\[ \begin{align*} a &= b + 2, \\ b &= b. \end{align*} \]

Теперь мы можем переписать формулу для периметра:

\[ \begin{align*} P &= (b + 2) + b + 2c, \\ 10 &= 2b + 2c + 2. \end{align*} \]

Упростим уравнение:

\[ \begin{align*} 8 &= 2b + 2c, \\ 4 &= b + c. \end{align*} \]

Также, мы знаем, что острый угол равен \(60^\circ\). В равнобедренной трапеции, боковая сторона и разность оснований образуют равнобедренный треугольник. Таким образом, у нас есть треугольник с углами \(60^\circ - 60^\circ - 60^\circ\), что является равносторонним треугольником. Это значит, что \(c = b\).

Теперь мы можем подставить \(c = b\) в уравнение \(4 = b + c\):

\[ \begin{align*} 4 &= b + b, \\ 4 &= 2b. \end{align*} \]

Отсюда получаем \(b = 2\). Таким образом, основание \(b\) равно 2, и основание \(a = b + 2 = 4\).

Теперь нам нужно найти высоту трапеции \(h\). В равнобедренном треугольнике с углом \(60^\circ\) высота делит треугольник на два равнобедренных треугольника с углами \(30^\circ - 60^\circ - 90^\circ\). В таком треугольнике соотношение между сторонами равно \(1 : \sqrt{3} : 2\). Таким образом, \(h\) можно выразить как:

\[ h = b \cdot \sqrt{3}. \]

Подставим значение \(b = 2\):

\[ h = 2 \cdot \sqrt{3}. \]

Теперь мы можем найти площадь трапеции, используя формулу для площади равнобедренной трапеции:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h. \]

Подставим значения:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot (4 + 2) \cdot (2 \cdot \sqrt{3}) = 3 \cdot \sqrt{3}. \]

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции равна \(3 \cdot \sqrt{3}\).