Question

В основе пирамиды лежит правильный треугольник со стороной 6 см. Известно, что одна боковая грань пирамиды перпендикулярна основанию, две другие наклонены к основанию под углом 45°. Найдите объем пирамиды.

Answer 1

Ответ:

Если боковая грань перпендикулярна основанию, значит в ней содержится высота.

Пусть SО - высота пирамиды и SО принадлежит грани SАС.

Проведем ОН⊥ВС и ОК⊥AB.

Тогда SH⊥BC и SK⊥АВ по теореме о трех перпендикулярах.

Тогда ∠SHO и ∠SKO - углы наклона боковых граней к плоскости основания и они равны α.

Треугольники SOH и SOK равны по катету и противолежащему углу (SO - общий катет, ∠SHO = ∠SKO = α). Значит:

О - середина АС,

SH = SK, а значит и площади боковых граней SAB и SBC равны.

Проведем АМ - медиану правильного треугольника. Тогда АМ⊥ВС.

АМ = а√3/2

О - середина АС, ОН║АМ как перпендикуляры к одной прямой, значит ОН - средняя линия треугольника АМС,

ОН = АМ/2 = а√3/4

ΔSOH: h = OH·tgα

h = a√3·tgα / 4

b = h/sinα = a√3·tgα / (4sinα) = a√3 / (4cosα)

Ssac = a·h / 2 = a²√3·tgα / 8

Ssbc = Ssac = a·b/2 = a²√3 / (8cosα)

Sбок = Ssac + 2Ssbc =

= =

= =

=

Answer 2

Давай решим эту задачу шаг за шагом.

1. Поскольку в основе пирамиды лежит правильный треугольник со стороной 6 см, это значит, что у нас равносторонний треугольник, и все его углы равны 60°.

2. Одна боковая грань перпендикулярна основанию, что означает, что угол между этой боковой гранью и основанием равен 90°.

3. Две другие боковые грани наклонены к основанию под углом 45°. Поскольку у нас равносторонний треугольник в основе, у нас также равнобедренный треугольник, и угол между боковой гранью и основанием равен 45°.

Теперь у нас есть все необходимые углы для решения задачи. Пирамида может быть разбита на четыре тетраэдра, каждый из которых образован основанием и тремя боковыми гранями. Мы можем вычислить объем одного такого тетраэдра и умножить его на 4, чтобы получить общий объем пирамиды.

Объем тетраэдра можно найти по формуле:

\[V_{\text{тетраэдр}} = \frac{1}{6} \cdot a^2 \cdot h,\]

где \(a\) - длина ребра основания (в нашем случае, сторона треугольника), \(h\) - высота тетраэдра.

4. Найдем высоту тетраэдра. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной стороны основания, половиной высоты треугольника и боковой гранью. У нас есть два таких треугольника, так что сумма их высот равна высоте тетраэдра.

\[h_{\text{тетраэдр}} = h_{\text{треугольника}} + h_{\text{боковой грани}}.\]

5. Вычислим высоту треугольника:

\[h_{\text{треугольника}} = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2},\]

где \(a\) - сторона треугольника.

6. Теперь найдем высоту боковой грани. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной стороны основания, половиной высоты треугольника и боковой гранью. Этот треугольник прямоугольный и у нас есть угол 45°. Так что:

\[h_{\text{боковой грани}} = a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}.\]

7. Подставим найденные значения в формулу для высоты тетраэдра:

\[h_{\text{тетраэдр}} = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}.\]

8. Теперь мы можем подставить значения в формулу для объема тетраэдра:

\[V_{\text{тетраэдр}} = \frac{1}{6} \cdot a^2 \cdot \left(a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right).\]

9. Умножим объем тетраэдра на 4, чтобы получить объем всей пирамиды:

\[V_{\text{пирамида}} = 4 \cdot V_{\text{тетраэдр}}.\]

Теперь можем приступить к вычислениям!