Question

Спростити вираз (5х + 1)(25х2 - 5x + 1) - 25x(5x2 - 1) та знайти його значення, якщо х - найбільший із коренів рівняння (x - 4)2 - 2x² + 32 = 0. ​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

(5x + 1)(25x^2 - 5x + 1) - 25x(5x^2 - 1)

= 125x^3 + 25x^2 - 5x - 1 - 125x^3 + 25x^2 - 100x

= -100x

Answer 2

Давайте розглянемо вираз та знайдемо його значення, використовуючи дане рівняння.

Даний вираз: \[ (5x + 1)(25x^2 - 5x + 1) - 25x(5x^2 - 1) \]

Спростимо його:

\[ (5x + 1)(25x^2 - 5x + 1) \] \[ = 5x(25x^2 - 5x + 1) + 1(25x^2 - 5x + 1) \] \[ = 125x^3 - 25x^2 + 5x + 25x^2 - 5x + 1 \] \[ = 125x^3 + 1 \]

Тепер візьмемо другий член виразу:

\[ - 25x(5x^2 - 1) \] \[ = -125x^3 + 25x \]

Тепер додамо обидва члени виразу:

\[ (125x^3 + 1) + (-125x^3 + 25x) \] \[ = 1 + 25x \]

Отже, спрощений вираз має вигляд \(1 + 25x\).

Тепер знайдемо значення виразу, коли \(x\) - найбільший із коренів рівняння \((x - 4)^2 - 2x^2 + 32 = 0\).

Дане рівняння можна спростити:

\[ (x - 4)^2 - 2x^2 + 32 = 0 \] \[ x^2 - 8x + 16 - 2x^2 + 32 = 0 \] \[ -x^2 - 8x + 48 = 0 \]

Тепер знайдемо корені цього рівняння, наприклад, за допомогою квадратного рівняння:

\[ x^2 + 8x - 48 = 0 \]

Корені цього рівняння - це значення \(x\), для якого вираз рівний нулю. Формула для знаходження коренів квадратного рівняння \(ax^2 + bx + c = 0\) має вигляд:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

У нашому випадку \(a = 1\), \(b = 8\), \(c = -48\). Підставимо значення:

\[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(1)(-48)}}{2(1)} \] \[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 192}}{2} \] \[ x = \frac{-8 \pm \sqrt{256}}{2} \] \[ x = \frac{-8 \pm 16}{2} \]

Таким чином, маємо два корені:

\[ x_1 = 4 \] \[ x_2 = -12 \]

Так як в завданні сказано, що \(x\) - найбільший корінь, обираємо \(x = 4\).

Тепер підставимо це значення \(x\) в наш вираз \(1 + 25x\):

\[ 1 + 25 \times 4 = 1 + 100 = 101 \]

Отже, значення виразу \( (5x + 1)(25x^2 - 5x + 1) - 25x(5x^2 - 1) \) при \(x = 4\) дорівнює 101.