Question

СРОЧНО Обчислити за формулою Ньютона - Лейбніца площу фігури, обмеженої зверху синусоїдою y = sin x, знизу - віссю Ox, а з боків - прямими x = π/4 і x = π/2. √3/2 ( кв. од. )8 ( кв. од. )√2/2 (кв.од.)3/4 (кв.од.)1/2 ( кв. од. )

Answer 1

Відповідь:

√2/2 (кв.од.)

Покрокове пояснення:

Answer 2

Щоб знайти площу фігури, обмеженої графіком синусоїди \(y = \sin x\), осі Ox та прямими \(x = \frac{\pi}{4}\) і \(x = \frac{\pi}{2}\), використаємо формулу Ньютона-Лейбніца для обчислення площі під кривою між двома точками \(a\) та \(b\):

\[ S = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]

У цьому випадку \(f(x) = \sin x\), \(a = \frac{\pi}{4}\) і \(b = \frac{\pi}{2}\).

\[ S = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx \]

Щоб знайти цей інтеграл, використаємо табличне значення інтегралу від \(\sin x\) по відомим межам:

\[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C \]

Тепер обчислимо вираз для площі:

\[ S = \left[-\cos x\right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \]

\[ S = -\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - \left(-\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) \]

\[ S = 0 - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \]

\[ S = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Отже, площа фігури, обмеженої графіком синусоїди \(y = \sin x\), віссю Ox та прямими \(x = \frac{\pi}{4}\) і \(x = \frac{\pi}{2}\), дорівнює \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) квадратних одиниці.