Question

Висота AD трикутника ABC ділить його сторону BC на відрізки BD і CD такі, що BD = 8 см, CD = 4 см. Знайдіть сторони AB і AC, якщо ∠B = 60°.

Answer 1

Відповідь:

сторони AB і AC дорівнюють 8 см і 4 см відповідно.

Покрокове пояснення:

Ми можемо скористатися властивістю, що у прямокутному трикутнику висота ділить його на дві подібні трикутники. Таким чином, ми можемо скористатися подібністю трикутників ABC і ABD, щоб знайти сторони AB і AC.

Оскільки AD є висотою, то ∠BAD і ∠CAD є прямими кутами. Також, оскільки ∠B = 60°, то ∠BAD і ∠DAC дорівнюють 30°.

З подібності трикутників ABC і ABD, ми маємо співвідношення між сторонами:

AB/AD = BD/BC

Або ж:

AB/AD = 8/(BD + CD)

AB/AD = 8/12

AB/AD = 2/3

Ми також можемо скористатися подібністю трикутників ABC і ACD, щоб знайти сторону AC:

AC/AD = CD/BC

Або ж:

AC/AD = 4/(BD + CD)

AC/AD = 4/12

AC/AD = 1/3

Тепер ми можемо використати те, що AB/AD = 2/3, щоб знайти значення сторони AB:

AB/AD = 2/3

AB = (2/3)AD

AB = (2/3)(BD + CD)

AB = (2/3)(8 + 4)

AB = 2(4)

AB = 8

Отже, AB = 8 см.

Ми також можемо використати те, що AC/AD = 1/3, щоб знайти значення сторони AC:

AC/AD = 1/3

AC = (1/3)AD

AC = (1/3)(BD + CD)

AC = (1/3)(8 + 4)

AC = (1/3)(12)

AC = 4

Отже, AC = 4 см.

Отже, сторони AB і AC дорівнюють 8 см і 4 см відповідно.

Answer 2

Звучить як задача на застосування теореми косинусів у трикутнику. Спочатку знайдемо довжину сторони AC. Ми вже знаємо, що BD = 8 см і CD = 4 см.

Трикутник ABC розбивається на два трикутники, ADC і ABD, за допомогою висоти AD.

Ми можемо використовувати теорему косинусів для трикутника ADC: \[AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle ACD)\]

Але нам потрібно знайти кут ACD. Оскільки \(\angle B\) = 60°, то \(\angle ACD\) також 60° (оскільки AD - висота, то вона перпендикулярна до BC, тому утворює прямий кут з CD).

Тепер, підставляючи відомі значення, отримаємо: \[AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(60°)\] \[AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \frac{1}{2}\] \[AC^2 = AD^2 + CD^2 - AD \cdot CD\]

Тепер вставимо відомі значення: \[AC^2 = 8^2 + 4^2 - 8 \cdot 4\] \[AC^2 = 64 + 16 - 32\] \[AC^2 = 80 - 32\] \[AC^2 = 48\]

Тепер знайдемо довжину AC: \[AC = \sqrt{48}\] \[AC = 4\sqrt{3} \approx 6.93 \, \text{см}\]

Тепер, щоб знайти довжину AB, ми можемо використати те саме рівняння, але застосуємо його до трикутника ABD. Оскільки ми вже знайшли AC, ми можемо використати теорему Піфагора для знаходження AB: \[AB^2 = AD^2 + BD^2\] \[AB^2 = 8^2 + 4^2\] \[AB^2 = 64 + 16\] \[AB^2 = 80\] \[AB = \sqrt{80}\] \[AB = 4\sqrt{5} \approx 8.94 \, \text{см}\]

Отже, сторона AB має довжину приблизно 8.94 см, а сторона AC - приблизно 6.93 см.