Question

Для функції f(x) = - х^2 + 3х знайдіть первісну, графік якої проходить через точку (2; - 1)

Answer 1

Ответ:

Найдём первообразную для функции   $\bf f(x)=-x^2+3x$  .

$\displaystyle \bf F(x)=\int \Big(-x^2+3x\Big)\, dx=-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+C$  .

Так как график первообразной проходит через точку М(2;-1) , то верно равенство

$\displaystyle \bf F(2)=-1\ \ ,\ \ F(2)=-\frac{2^3}{3}+\frac{3\cdot 2^2}{2}+C=-\dfrac{8}{3}+\frac{12}{2}+C=-\frac{8}{3}+6+C=\frac{10}{3}+C\\\\\\\frac{10}{3}+C=-1\ \ ,\ \ \ C=-1-\frac{10}{3}=-\frac{13}{3}$

Первообразной для заданной функции, график которой проходит через точку М(2;-1) является функция

$\displaystyle \bf F(x)\Big|_{M}=\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}-\frac{13}{3}$                              

Answer 2

Щоб знайти первісну функції f(x) = -x^2 + 3x, яка проходить через точку (2, -1), ми будемо інтегрувати дану функцію.

Загальна формула для знаходження первісної функції відповідно до правила інтегрування степеневої функції знаходиться за формулою:

∫(x^n) dx = (x^(n+1))/(n+1) + C,

де C - довільна константа.

Застосуємо цю формулу до кожного доданка функції f(x):

∫(-x^2) dx = - (x^3)/3 + C1,

∫(3x) dx = (3x^2)/2 + C2.

Отже, первісна функції f(x) = -x^2 + 3x має вигляд:

F(x) = - (x^3)/3 + (3x^2)/2 + C,

де C - довільна константа.

Для знаходження значення константи C ми використаємо дані про точку, через яку проходить графік первісної функції. Підставимо значення x = 2 та y = -1 в рівняння первісної функції:

-1 = - (2^3)/3 + (3*2^2)/2 + C.

-1 = -8/3 + 12/2 + C.

-1 = -8/3 + 6 + C.

-1 = -8/3 + 18/3 + C.

-1 = 10/3 + C.

C = -1 - 10/3.

C = -3/3 - 10/3.

C = -13/3.

Таким чином, первісна функції f(x) = -x^2 + 3x, яка проходить через точку (2, -1), має вигляд:

F(x) = - (x^3)/3 + (3x^2)/2 - 13/3.