Question

282. Докажите, что: а) точки А(3;-6), В(-2; 4) и С(1;-2) лежат на одной прямой; б) точки А(4; 1), B(3; 5), C(-1; 4), 0(0; 0) являются вершинами квадрата. ДАМ 70БАЛОВ​

Answer 1

Решение на прикреплённой фотографии

Answer 2

Чтобы доказать, что три точки лежат на одной прямой, можно воспользоваться определителем матрицы. Для этого преобразуем координаты точек в матрицу и проверим их коллинеарность.

а) Для точек \(A(3; -6)\), \(B(-2; 4)\) и \(C(1; -2)\):

Составим матрицу, где каждая строка представляет координаты точки, а первый столбец содержит координату x, а второй - координату y:

\[\begin{bmatrix} 3 & -6 \\ -2 & 4 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}\]

Теперь найдем определитель этой матрицы:

\[\text{det}\begin{bmatrix} 3 & -6 \\ -2 & 4 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} = 3 * 4 + (-6) * 1 + (-2) * (-2) - (-2) * 4 - 1 * 3 - (-6) * (-2) = 12 - 6 + 4 + 8 - 3 + 12 = 27\]

Так как определитель матрицы не равен нулю (определитель не равен нулю, если и только если точки не лежат на одной прямой), то точки \(A\), \(B\) и \(C\) не лежат на одной прямой.

б) Чтобы проверить, являются ли точки \(A(4; 1)\), \(B(3; 5)\), \(C(-1; 4)\) и \(O(0; 0)\) вершинами квадрата, нужно убедиться, что стороны квадрата равны по длине и перпендикулярны друг другу.

Выполним расчеты для сторон и диагоналей:

1. Найдем длины отрезков между точками:

От \(A\) до \(B\):

\[\sqrt{(4 - 3)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}\]

От \(B\) до \(C\):

\[\sqrt{(3 - (-1))^2 + (5 - 4)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}\]

От \(C\) до \(A\):

\[\sqrt{((-1) - 4)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}\]

2. Теперь проверим, являются ли стороны квадрата равными.

Из результатов выше видно, что длина сторон \(AB\) и \(BC\) равна \(\sqrt{17}\), но сторона \(CA\) имеет длину \(\sqrt{34}\), что отличается от \(\sqrt{17}\).

Таким образом, точки \(A\), \(B\), \(C\) и \(O\) не образуют квадрат, так как не все стороны равны.

По результатам проверки:

а) Точки \(A(3; -6)\), \(B(-2; 4)\) и \(C(1; -2)\) не лежат на одной прямой.

б) Точки \(A(4; 1)\), \(B(3; 5)\), \(C(-1; 4)\) и \(O(0; 0)\) не образуют квадрат.

Полученный ответ не является положительным для каждой части задачи, следовательно, не возможно начислить 70 баллов за решение данной задачи.