Question

Знацти всі значення параметра а при Яких рівняння 36^(х) - (8а-1)×6^(х) +16а^(2) - 4а - 2= 0 має єдиний корінь.

Answer 1

Пусть $6^x=t$, причем $t > 0$, тогда получаем:

$t^2-(8a-1)t+16a^2-4a-2=0$

Найдем дискриминант квадратного уравнения

$D=(8a-1)^2-4\cdot (16a^2-4a-2)=64a^2-16a+1-64a^2+16a+8=9$

Так как дискриминант положительный, то квадратное уравнение имеет два различных корня.

Чтобы исходное уравнение имело единственный корень, нужно, чтобы квадратное уравнение относительно $t$ приняло только один положительный корень, т.е. по теореме Виета:

$x_1x_2=16a^2-4a-2 < 0$

$8a^2-2a-1 < 0$

$16(a+0.25)(a-0.5) < 0$

Получаем $-0.25 < a < 0.5$. Если подставим $a=-0.25$, получаем корни $t_1=-3 < 0$ и $t_2=0\notin (t > 0)$, а если $a=0.5$, то имеем $t_1=0\notin (t > 0)$ и $t_2=3 > 0$

Ответ: при $a \in (-0.25;0.5]$

Answer 2

Давайте розглянемо рівняння і знайдемо значення параметра \( a \), при якому у нього єдиний корінь.

Дано рівняння: \[ 36^x - (8a - 1) \times 6^x + 16a^2 - 4a - 2 = 0 \]

Щоб рівняння мало єдиний корінь, дискримінант квадратного тричлена має бути рівний нулю.

Дискримінант \( \Delta \) для квадратного рівняння \( ax^2 + bx + c = 0 \) обчислюється за формулою: \[ \Delta = b^2 - 4ac \]

У нашому випадку коефіцієнти рівняння: \[ a = 36^x, \quad b = -(8a - 1) \times 6^x, \quad c = 16a^2 - 4a - 2 \]

Підставимо ці значення в формулу для дискримінанта: \[ \Delta = \left(-(8a - 1) \times 6^x\right)^2 - 4 \times 36^x \times (16a^2 - 4a - 2) \]

Розкриваємо дужки і спрощуємо вираз: \[ \Delta = (64a^2 - 16a + 1) \times 6^{2x} - 4 \times 36^x \times (16a^2 - 4a - 2) \]

Припустимо, що у рівнянні \( \Delta = 0 \), тобто: \[ (64a^2 - 16a + 1) \times 6^{2x} - 4 \times 36^x \times (16a^2 - 4a - 2) = 0 \]

Тепер розглянемо це рівняння та знайдемо значення параметра \( a \), при якому дискримінант рівний нулю. Розв'язавши це рівняння для \( a \), отримаємо значення, яке задовольняє умову єдиного кореня для вихідного рівняння.