Question

СРОЧНО ДАЮ 50БАЛЛОВ Реши неравенство и найди отношение наибольшего целого решения к наименьшему. (3x – 1)(2 – x)(12 – 4x)(x + 1) ≤ 0​

Answer 1

Решение неравенства на прикреплённой фотографии

Answer 2

Чтобы решить данное неравенство, давайте разберемся с каждым множителем поочередно. Для этого найдем корни каждого из них и определим интервалы, на которых каждый множитель положителен или отрицателен.

Итак, у нас есть неравенство:

\((3x - 1)(2 - x)(12 - 4x)(x + 1) \le 0\)

Начнем с первого множителя \(3x - 1\). Найдем его корень:

\(3x - 1 = 0\)

\(3x = 1\)

\(x = \frac{1}{3}\)

Таким образом, множитель \(3x - 1\) обращается в ноль при \(x = \frac{1}{3}\). Теперь выберем тестовую точку в каждом из интервалов, образованных корнем \(x = \frac{1}{3}\): \(x < \frac{1}{3}\), \(x > \frac{1}{3}\).

Выберем \(x = 0\), тогда \(3x - 1\) отрицательно.

Теперь перейдем ко второму множителю \(2 - x\):

\(2 - x = 0\)

\(x = 2\)

Таким образом, множитель \(2 - x\) обращается в ноль при \(x = 2\). Теперь выберем тестовые точки в каждом из интервалов, образованных корнем \(x = 2\): \(x < 2\), \(x > 2\).

Выберем \(x = 1\), тогда \(2 - x\) положительно.

Переходим к третьему множителю \(12 - 4x\):

\(12 - 4x = 0\)

\(4x = 12\)

\(x = 3\)

Таким образом, множитель \(12 - 4x\) обращается в ноль при \(x = 3\). Теперь выберем тестовые точки в каждом из интервалов, образованных корнем \(x = 3\): \(x < 3\), \(x > 3\).

Выберем \(x = 2.5\), тогда \(12 - 4x\) отрицательно.

И, наконец, последний множитель \(x + 1\):

\(x + 1 = 0\)

\(x = -1\)

Таким образом, множитель \(x + 1\) обращается в ноль при \(x = -1\). Теперь выберем тестовые точки в каждом из интервалов, образованных корнем \(x = -1\): \(x < -1\), \(x > -1\).

Выберем \(x = -2\), тогда \(x + 1\) отрицательно.

Теперь объединим информацию по всем множителям:

1. \(3x - 1\): Отрицательно при \(x < \frac{1}{3}\), положительно при \(x > \frac{1}{3}\). 2. \(2 - x\): Положительно при \(x < 2\), отрицательно при \(x > 2\). 3. \(12 - 4x\): Отрицательно при \(x < 3\), положительно при \(x > 3\). 4. \(x + 1\): Отрицательно при \(x < -1\), положительно при \(x > -1\).

Теперь учтем знаки всех множителей:

1. При \(x < -1\): Все множители отрицательны, произведение положительно. 2. \(-1 < x < \frac{1}{3}\): Множители \(3x - 1\) и \(x + 1\) отрицательны, а \(2 - x\) и \(12 - 4x\) положительны, произведение отрицательно. 3. \(\frac{1}{3} < x < 2\): Все множители положительны, произведение положительно. 4. \(2 < x < 3\): Множители \(2 - x\) и \(12 - 4x\) отрицательны, а \(3x - 1\) и \(x + 1\) положительны, произведение отрицательно. 5. \(x > 3\): Все множители отрицательны, произведение положительно.

Теперь осталось учесть знак неравенства (\(\le 0\)). Ответом нашей задачи будут все значения \(x\), при которых произведение множителей меньше или равно нулю. Из нашего анализа видно, что это выполняется для интервалов \(-\infty < x \le -1\), \(0 < x \le \frac{1}{3}\), \(2 < x \le 3\), \(x > 3\).

Теперь найдем отношение наибольшего целого решения к наименьшему. Из нашего анализа видно, что наименьшее решение \(x\) равно -1, а наибольшее - бесконечность (\(\infty\)).

Отношение наибольшего целого решения к наименьшему равно \(\frac{\infty}{-1} = -\infty\).

Таким образом, решение неравенства \((3x - 1)(2 - x)(12 - 4x)(x + 1) \le 0\) - это интервалы \(-\infty < x \le -1\), \(0 < x \le \frac{1}{3}\), \(2 < x \le