Question

На какую степень числа 3 делится произведение натуральных чисел от 1 до 100 включительно?

Answer 1

от 1 до 100 ровно 33 числа делятся на 3. Из них 11 чисел делятся на 3². А из них 4 делятся на 3³. А из них одно делится на 3⁴.

Получается, что произведение делится на 3 в степени (33+11+4+1) = 3 в степени 49

Answer 2

На какую степень числа 3 делится произведение натуральных чисел от 1 до 100 включительно?

Чтобы определить на какую степень числа 3 делится произведение натуральных чисел от 1 до 100 включительно, нужно посчитать, сколько раз число 3 встречается в этом произведении.

Для этого можно разложить каждое число от 1 до 100 на простые множители и посчитать количество троек в этих разложениях. Число 3 встречается в разложении каждого числа, кратного 3, один раз. Также, число 3 встречается в разложении каждого числа, кратного 9, два раза, и так далее.

Таким образом, чтобы определить на какую степень числа 3 делится произведение натуральных чисел от 1 до 100, нужно посчитать количество троек в разложении каждого числа от 1 до 100 и сложить эти значения.

Примечание: Для подсчета количества троек в разложении числа можно использовать операцию деления с остатком. Если число делится на 3 без остатка, то оно содержит одну тройку в разложении. Если число делится на 9 без остатка, то оно содержит две тройки в разложении, и так далее.

Подсчет количества троек в разложении чисел от 1 до 100:

1. Числа, кратные 3: 3, 6, 9, 12, ..., 99. Всего таких чисел 33. Каждое из них содержит одну тройку в разложении. 2. Числа, кратные 9: 9, 18, 27, ..., 99. Всего таких чисел 11. Каждое из них содержит две тройки в разложении. 3. Числа, кратные 27: 27, 54, 81. Всего таких чисел 3. Каждое из них содержит три тройки в разложении. 4. Числа, кратные 81: 81. Всего таких чисел 1. Каждое из них содержит четыре тройки в разложении.

Суммируем количество троек в разложении каждого числа:

33 + 2 * 11 + 3 * 3 + 4 * 1 = 33 + 22 + 9 + 4 = 68

Таким образом, произведение натуральных чисел от 1 до 100 включительно делится на 3 в 68-й степени.

Ответ: Произведение натуральных чисел от 1 до 100 включительно делится на 3 в 68-й степени.