Question

Розв'яжіть нерівність (π/4)^х<(4/π)^3

Answer 1

Відповідь:

Для розв'язання нерівності (π/4)^х < (4/π)^3, спочатку приведемо обидві частини до одного і того ж основного показника.

(π/4)^х < (4/π)^3

Перетворимо чисельник і знаменник відповідно:

(π^3 / 4^3) < (4^3 / π^3)

Звідси отримуємо:

(π^3 / 4^3) < (4^3 / π^3)

Після спрощення отримуємо:

(π^3 * π^3) < (4^3 * 4^3)

π^6 < 4^6

Значення π^6 (π в 6-й степені) менше значення 4^6 (4 в 6-й степені). Тому нерівність (π/4)^х < (4/π)^3 справедлива для будь-якого значення х.

Отже, розв'язком цієї нерівності є діапазон усіх дійсних чисел х.

Покрокове пояснення:

Answer 2

Давайте розв'яжемо цю нерівність:

\((\frac{\pi}{4})^x < (\frac{4}{\pi})^3\)

Почнемо з лівої сторони нерівності. Піднесемо \(\frac{\pi}{4}\) до степені \(x\):

\((\frac{\pi}{4})^x\)

Тепер перейдемо до правої сторони нерівності. Піднесемо \(\frac{4}{\pi}\) до степені 3:

\((\frac{4}{\pi})^3\)

Отже, наша нерівність тепер має вигляд:

\((\frac{\pi}{4})^x < (\frac{4}{\pi})^3\)

Тепер ми можемо порівняти обидві сторони нерівності.

Якщо ми пригадаємо, що \((\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}\), то ми можемо переписати нашу нерівність:

\(\frac{\pi^x}{4^x} < \frac{4^3}{\pi^3}\)

Тепер ми можемо спростити цю нерівність, помноживши обидві сторони на \(4^x\):

\(\pi^x < \frac{4^3}{\pi^3} \cdot 4^x\)

Запишемо \(4^3\) як \(64\), а \(\pi^3\) як \(\pi \cdot \pi \cdot \pi\):

\(\pi^x < \frac{64}{\pi^3} \cdot 4^x\)

Тепер ми можемо помножити обидві сторони на \(\pi^3\):

\(\pi^x \cdot \pi^3 < 64 \cdot 4^x\)

Запишемо \(\pi^x \cdot \pi^3\) як \(\pi^{x+3}\):

\(\pi^{x+3} < 64 \cdot 4^x\)

Тепер ми можемо розглянути праву сторону нерівності. Запишемо \(4^x\) як \((2^2)^x\) і використаємо властивість піднесення до степеня степеня:

\(\pi^{x+3} < 64 \cdot (2^2)^x\)

\(\pi^{x+3} < 64 \cdot 2^{2x}\)

Тепер ми можемо записати \(64\) як \(2^6\):

\(\pi^{x+3} < 2^6 \cdot 2^{2x}\)

Запишемо \(2^6\) як \(2^{2 \cdot 3}\):

\(\pi^{x+3} < 2^{2 \cdot 3} \cdot 2^{2x}\)

Використовуючи властивість додавання експонент:

\(\pi^{x+3} < 2^{2 \cdot 3 + 2x}\)

Спростимо експоненти:

\(\pi^{x+3} < 2^{6 + 2x}\)

Тепер ми маємо нерівність, в якій знаходимося на одному боці експонента з базою \(\pi\), а на іншому боці - експонента з базою 2. Для того, щоб порівняти ці дві сторони, ми можемо взяти логарифм від обох сторін нерівності.

Взявши логарифм від обох сторін, ми отримаємо:

\(x + 3 < 6 + 2x\)

Віднімемо \(x\) від обох сторін:

\(3 < 6 + x\)

Віднімемо \(6\) від обох сторін:

\(-3 < x\)

Тепер ми маємо відповідь: \(x > -3\).

Отже, розв'язком нерівності \((\frac{\pi}{4})^x < (\frac{4}{\pi})^3\) є \(x > -3\).