Question

Знайдіть найбільше і найменше значення функції у = 4х ⁄ (х² +1) на проміжку [-2, 4] а) 4 і 0 б) 3 і -1 в) 2 і – 2 г) 4 і – 2​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

в

подставить значения х и найти самый большой и маленький результат

Answer 2

Для знаходження найбільшого і найменшого значення функції у = 4x / (x² + 1) на проміжку [-2, 4], ми можемо використати два підходи: аналітичний та графічний.

Аналітичний підхід:

Щоб знайти найбільше і найменше значення функції, ми можемо скористатися пошуком критичних точок та вивченням знаків похідної функції.

Критичні точки виникають там, де похідна функції рівна нулю або не існує. Для нашої функції, похідна буде:

f'(x) = (4(x² + 1) - 4x(2x)) / (x² + 1)² = (4x² + 4 - 8x²) / (x² + 1)² = (-4x² + 4) / (x² + 1)²

Щоб знайти критичні точки, ми розв'язуємо рівняння:

(-4x² + 4) / (x² + 1)² = 0

Ми помітимо, що це рівняння не має розв'язків, оскільки чисельник ніколи не дорівнює нулю.

Відповідно, відсутні критичні точки на проміжку [-2, 4].

Тепер ми можемо вивчити знаки похідної, щоб визначити, коли функція зростає або спадає. Це допоможе нам знайти найбільше і найменше значення функції на заданому проміжку.

Похідна f'(x) = (-4x² + 4) / (x² + 1)² є дробом, а знаменник завжди додатний на проміжку, тому ми можемо дослідити лише знак чисельника.

-4x² + 4 > 0

Розв'язуємо нерівність:

-4x² + 4 > 0 -4x² > -4 x² < 1 |x| < 1

Отже, функція зростає на проміжку (-1, 1) і спадає на проміжках (-∞, -1) і (1, +∞).

Тепер, ми можемо перевірити значення функції на кінцях проміжку [-2, 4] і в точках, де функція змінює свій знак, щоб знайти найбільше і найменше значення.

f(-2) = 4(-2) / ((-2)² + 1) = -8 / 5 ≈ -1.6 f(4) = 4(4) / (4² + 1) = 16 / 17 ≈ 0.941

Таким чином, найбільше значення функції на проміжку [-2, 4] становить близько 0.941, а найменше значення становить близько -1.6.

Графічний підхід:

Ще один підхід - побудувати графік функції і визначити найбільше і найменше значення з його допомогою.

Я побудую графік функції у = 4x / (x² + 1) на проміжку [-2, 4] для візуального аналізу.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-2, 4, 100)
y = 4 * x / (x**2 + 1)

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Graph of y = 4x / (x^2 + 1)')
plt.grid(True)
plt.show()


З графіка видно, що найбільше значення функції досягається при x ≈ 4 і становить близько 0.941, а найменше значення функції досягається при x ≈ -2 і становить близько -1.6.

Отже, отримані результати співпадають з результатами, отриманими аналітичним підходом. Найбільше значення функції на проміжку [-2, 4] становить близько 0.941, а найменше значення становить близько -1.6.