Question

Знайдіть площу фігури, що обмежена лініями: y=6-x^2; y=5

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Щоб знайти площу фігури, обмеженої двома функціями, необхідно знайти точки їх перетину і обчислити інтеграл від різниці функцій між цими точками.

Спочатку знайдемо точки перетину двох лінійних функцій:

y = 6 - x^2

y = 5

Підставимо друге рівняння в перше, щоб знайти значення x:

5 = 6 - x^2

x^2 = 1

x = ±1

Таким чином, точки перетину цих функцій - це (1,5) і (-1,5).

Тепер можемо обчислити площу фігури, що обмежена цими функціями, за допомогою інтегралу:

S = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx,

де f(x) - це функція, що обмежує фігуру зверху (y = 6 - x^2), g(x) - це функція, що обмежує її знизу (y = 5), a = -1, b = 1.

S = ∫[-1,1] ((6 - x^2) - 5) dx

= ∫[-1,1] (1 - x^2) dx

= x - (1/3)x^3 |[-1,1]

= (1 - (1/3)) - (-1 + (1/3))

= 2/3 + 2/3

= 4/3

Отже, площа фігури, що обмежена лініями y = 6 - x^2 та y = 5, становить 4/3 квадратних одиниць.

Answer 2

Щоб знайти площу фігури, обмеженої двома лініями, необхідно обчислити інтеграл від різниці функцій, які задають ці лінії, у межах, в яких вони перетинаються.

Перше, давайте знайдемо точки перетину цих двох ліній. Підставимо вираз для y з першої лінії в другу лінію:

6-x^2 = 5.

Перенесемо 5 на іншу сторону:

-x^2 = -1.

Помножимо обидві частини рівняння на -1, щоб змінити знаки:

x^2 = 1.

Запишемо це рівняння у квадратному вигляді:

x = ±√1.

Отже, отримали дві точки перетину: (1, 5) та (-1, 5).

Тепер, треба визначити межі інтегрування для обчислення площі. Якщо ми оберемо ося OX уздовж прямої, то ми бачимо, що фігура обмежена по X від -1 до 1, оскільки це є межі точок перетину.

Отже, ми можемо записати інтеграл для обчислення площі фігури:

S = ∫(x₂ - x₁) (f₁(x) - f₂(x))dx.

В цьому випадку x₁ = -1, x₂ = 1, f₁(x) = 6 - x², f₂(x) = 5.

Тоді інтеграл буде мати вигляд:

S = ∫(-1 1) (6 - x² - 5)dx,

S = ∫(-1 1) (1 - x²)dx.

Зберемо цей інтеграл:

S = ∫(1 - x²)dx = \[x - (x³/3)] from -1 to 1,

S = (1 - (1³/3)) - ((-1) - ((-1)³/3)).

Розрахуємо це:

S = (1 - 1/3) - (-1 + 1/3),

S = 2/3 + 2/3 = 4/3.

Отже, площа фігури, обмеженої лініями y = 6 - x² та y = 5, буде 4/3 квадратних одиниці.