Question

Знайдіть площу фігури яка обмежена лініями у =x^2-4x+3, y=3-x

Answer 1

Ответ:

4,5

Пошаговое объяснение:

Найти точки пересечения

$x^{2}-4x+3=3-x\\x^{2}-3x=0\\x(x-3)=0\\x_{1}=0,x_{2}=3\\\\f(x)=(3-x)-(x^{2}-4x+3)=-x^{2}+3x\\F(x)=-\frac{x^{2+1}}{2+1}+3\frac{x^{1+1}}{1+1}=-\frac{1}{3}x^{3}+1,5x^{2} \\\\\int\limits^3_0 {(-x^{2}+3x)} \, dx =-\frac{1}{3}*3^{3}+1,5*3^{2}=-9+13,5=4,5$

Answer 2

Для знаходження площі фігури, обмеженої двома функціями, спочатку потрібно знайти точки їх перетину, які визначають межі інтегрування. Після цього можна обчислити відповідний інтеграл для знаходження площі.

Спершу знайдемо точки перетину ліній:

y = x^2 - 4x + 3 y = 3 - x

Поставимо їх у рівність та розв'яжемо відносно x:

x^2 - 4x + 3 = 3 - x

x^2 - 3x = 0

x(x - 3) = 0

Отримуємо два значення x: x = 0 та x = 3.

Тепер можемо обчислити відповідні значення y:

При x = 0: y = 3 - 0 = 3 При x = 3: y = 3 - 3 = 0

Таким чином, точки перетину мають координати (0, 3) та (3, 0).

Тепер ми можемо знайти площу фігури між цими двома кривими, використовуючи інтеграл:

Площа = ∫[a, b] (верхня функція - нижня функція) dx, де a і b - це межі інтегрування (у нашому випадку 0 та 3), а верхня та нижня функції - це y = x^2 - 4x + 3 та y = 3 - x відповідно.

Площа = ∫[0, 3] [(x^2 - 4x + 3) - (3 - x)] dx Площа = ∫[0, 3] (x^2 - 4x + 3 + x - 3) dx Площа = ∫[0, 3] (x^2 - 3x) dx

Тепер інтегруємо від 0 до 3:

Площа = [1/3 * x^3 - 3/2 * x^2]_0^3 Площа = (1/3 * 3^3 - 3/2 * 3^2) - (1/3 * 0^3 - 3/2 * 0^2) Площа = (27/3 - 27/2) - (0 - 0) Площа = 9 - 13.5 Площа = -4.5 квадратних одиниць.

Отже, площа фігури, обмеженої лініями y = x^2 - 4x + 3 та y = 3 - x, дорівнює -4.5 квадратних одиниць.