Question

Один из углов прямоугольного треугольника равен 30°, а сумма длин гипотенузы и меньшего ка- тета равна 30 см. Вычислите длины гипотенузы и меньшего катета.

Answer 1

2a+a=30
3a=30
a=10
Меньший катет= 10
Гипотенуза = 2*10=20

Answer 2

Давайте обозначим длины катетов прямоугольного треугольника буквами \(a\) и \(b\), а длину гипотенузы - \(c\). Условие задачи гласит, что один из углов прямоугольного треугольника равен \(30^\circ\), а сумма длин гипотенузы и меньшего катета равна 30 см.

Сначала рассмотрим прямоугольный треугольник. Угол в \(30^\circ\) может быть углом, например, при основании треугольника, поэтому меньший катет будет \(a\), а гипотенуза - \(c\).

С учетом этого, у нас есть два уравнения:

1. \(\angle ABC = 30^\circ\) 2. \(a + c = 30\) (сумма длин гипотенузы и меньшего катета)

Теперь воспользуемся свойствами треугольника:

1. \(\sin(30^\circ) = \frac{a}{c}\)

Известно, что \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\), поэтому уравнение принимает вид:

\(\frac{a}{c} = \frac{1}{2}\)

Теперь у нас есть два уравнения:

1. \(a + c = 30\) 2. \(\frac{a}{c} = \frac{1}{2}\)

Мы можем решить эту систему уравнений. Умножим обе стороны второго уравнения на \(c\):

\[a = \frac{c}{2}\]

Теперь подставим это выражение в первое уравнение:

\[\frac{c}{2} + c = 30\]

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[c + 2c = 60\]

\[3c = 60\]

\[c = 20\]

Теперь мы знаем, что гипотенуза \(c\) равна 20 см. Подставим это значение обратно в уравнение \(a + c = 30\):

\[a + 20 = 30\]

\[a = 10\]

Таким образом, меньший катет \(a\) равен 10 см, а гипотенуза \(c\) равна 20 см.