Question

в тупоугольном треугольнике АВС АС-наибольшая сторона, АВ=15 см, ВС=18 см, sinA=V5/3. Найти сторону АС

Answer 1

Відповідь:

Для решения задачи нам потребуется использовать теорему косинусов, которая позволяет найти любую сторону треугольника, если известны длины двух других сторон и угол между ними. Формула для теоремы косинусов имеет вид:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C),

где c - сторона, которую мы ищем, a и b - известные стороны, а C - угол между ними.

В данной задаче нам даны стороны ВС и АВ, а также значение синуса угла A. Нам нужно найти сторону АС, которая является наибольшей.

Первым шагом найдем косинус угла A, используя определение синуса и теорему Пифагора для прямоугольного треугольника АВС:

sinA = opposite/hypotenuse = BC/AC

AC = BC/sinA = 18/(√5/3) = 18*3/√5 = 54/√5 см.

Затем, найдем угол C, используя определение синуса и теорему Пифагора для прямоугольного треугольника АВС:

sinC = opposite/hypotenuse = AB/AC

cosC = adjacent/hypotenuse = BC/AC

cosC = √(1 - sin^2C) = √(1 - 9/5) = √(4/5) = 2/√5

BC = AC*cosC = (54/√5) * (2/√5) = 108/5 см.

Наконец, используя теорему косинусов для стороны AC, получим:

AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2ABBCcosC

AC^2 = 15^2 + (108/5)^2 - 215*(108/5)*(2/√5)

AC^2 = 225 + 11664/25 - 216/√5

AC^2 = (5625 + 233856 - 216√5)/25

AC^2 = (239481 - 216√5)/25

Таким образом, сторона AC равна:

AC = √((239481 - 216√5)/25) ≈ 36.48 см.

Ответ: сторона АС ≈ 36.48 см.

Покрокове пояснення:

Answer 2

Для решения задачи в тупоугольном треугольнике используем теорему синусов. Формула теоремы синусов выглядит следующим образом:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

где \(a\), \(b\), и \(c\) - стороны треугольника, а \(A\), \(B\), и \(C\) - их противолежащие углы. В данном случае у нас заданы стороны \(AB\), \(BC\), и угол \(A\).

Из условия имеем: - \(AB = 15\) см, - \(BC = 18\) см, - \(\sin A = \frac{\sqrt{5}}{3}\).

Хотим найти сторону \(AC\).

Используем теорему синусов:

\[ \frac{AB}{\sin A} = \frac{BC}{\sin B} = \frac{AC}{\sin C} \]

Так как у нас тупоугольный треугольник, то угол \(B\) острый (меньше 90 градусов), и следовательно, \(\sin B\) будет положительным.

Подставляем известные значения:

\[ \frac{15}{\frac{\sqrt{5}}{3}} = \frac{18}{\sin B} = \frac{AC}{\sin C} \]

Теперь решим уравнение относительно \(AC\):

\[ AC = \frac{15}{\frac{\sqrt{5}}{3}} \cdot \sin C \]

\[ AC = \frac{15 \cdot 3}{\sqrt{5}} \cdot \sin C \]

\[ AC = \frac{45}{\sqrt{5}} \cdot \sin C \]

Мы знаем, что \(\sin C = \sqrt{1 - \sin^2 B}\). Из условия тупоугольности треугольника следует, что \(\sin B = \frac{\sqrt{5}}{3}\), поэтому:

\[ \sin C = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2} \]

\[ \sin C = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} \]

\[ \sin C = \sqrt{\frac{4}{9}} \]

\[ \sin C = \frac{2}{3} \]

Теперь можем подставить \(\sin C\) в формулу для \(AC\):

\[ AC = \frac{45}{\sqrt{5}} \cdot \frac{2}{3} \]

\[ AC = \frac{90}{\sqrt{5}} \]

Чтобы избавиться от знаменателя вида \(\sqrt{5}\) в знаменателе, умножим и поделим на \(\sqrt{5}\):

\[ AC = \frac{90}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \]

\[ AC = \frac{90 \cdot \sqrt{5}}{5} \]

\[ AC = 18 \cdot \sqrt{5} \]

Таким образом, сторона \(AC\) равна \(18 \cdot \sqrt{5}\) см.