Question

Найти все значения r при которых неравенство x^2-(2+r)×x+4>0 выполняется при всех действительных значениях x

Answer 1

Ответ:

$r \in ( - 2;\,\,6)$

Пошаговое объяснение:

Условие задачи выполняется только если дискриминант данного квадратного трехчлена меньше нуля. Тогда все его значения имеют тот же знак, что и коэффициент при ${x^2}$ (в нашем случае это $1 > 0$).

То есть

$D = {( - (2 + r))^2} - 4 \cdot 4 = 4 + 4r + {r^2} - 16 = {r^2} - 4r - 12 < 0;\\\\\left\{ \begin{array}{l}{r_1} + {r_2} = 4,\\{r_1}{r_2} = - 12;\end{array} \right.\\\\{r_1} = - 2,\,\,{r_2} = 6;\\\\(r + 2)(r - 6) < 0;\\\\r \in ( - 2;\,\,6).$

Answer 2

Чтобы решить данное неравенство, мы можем воспользоваться методом квадратного трехчлена. Исходное неравенство имеет вид:

\[ x^2 - (2r)x + 4 > 0 \]

Чтобы найти значения \( x \), при которых это неравенство выполняется, нужно определить, когда выражение \( x^2 - (2r)x + 4 \) положительно.

1. Начнем с нахождения дискриминанта квадратного трехчлена. Дискриминант вычисляется по формуле \( D = b^2 - 4ac \), где у нас \( a = 1 \), \( b = -2r \), и \( c = 4 \):

\[ D = (-2r)^2 - 4(1)(4) \] \[ D = 4r^2 - 16 \]

2. Теперь определим интервалы, в которых неравенство \( x^2 - (2r)x + 4 > 0 \) выполняется.

- Если \( D > 0 \), то у уравнения есть два различных корня, и неравенство выполняется в интервалах между корнями. - Если \( D = 0 \), то у уравнения есть один корень, и неравенство выполняется в точке корня. - Если \( D < 0 \), то у уравнения нет действительных корней, и неравенство выполняется для всех значений \( x \).

3. Теперь рассмотрим случаи:

a. Если \( D > 0 \):

\[ 4r^2 - 16 > 0 \]

Решим это неравенство:

\[ r^2 > 4 \]

\[ r < -2 \, \text{или} \, r > 2 \]

b. Если \( D = 0 \):

\[ 4r^2 - 16 = 0 \]

Это уравнение имеет один действительный корень:

\[ r = -2 \, \text{или} \, r = 2 \]

c. Если \( D < 0 \):

Неравенство выполняется для всех значений \( r \).

Итак, решение данного неравенства для всех действительных значений \( x \) и \( r \) - это:

\[ r < -2 \, \text{или} \, r > 2 \, \text{или} \, r = -2 \, \text{или} \, r = 2 \]