Question

Запишіть рівняння дотичної та нормалі до кривої y=sin 6x - 3 у точці x0=π/18

Answer 1

Написать уравнение касательной и нормали к графику функции y=sin(6x)-3 в точке х₀=π/18.

Ответ:

а) y=(√3-6)/2+3x-π/6;

b) y=(√3-6)/2-1/3x+π/54.

Пошаговое объяснение:

Сначала вспомним общий вид уравнения касательной и нормали к графику функции y=sin(6x)-3 в точке х₀:

$\LARGE \boldsymbol {} a)\ y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\\\\b)\ y=f(x_0)-\frac{1}{f'(x_0)} (x-x_0)$

где а - уравнение касательной, b - уравнение нормали.

Находим производную функции:

$\LARGE \boldsymbol {} f(x)=\sin(6x)-3\\\\f'(x)=(\sin(6x)-3)'=(\sin(6x)-3)'*(6x)'=\\\\=\cos(6x)*6*1=6\cos(6x)$

Находим f'(x₀):

$\LARGE \boldsymbol {} f'(x_0)=f'\left(\frac{\pi }{18} \right) =6\cos\left(6*\frac{\pi }{18} \right)=6\cos\frac{\not6\pi }{\not18} =\\\\=6\cos\frac{\pi }{3} =6*\frac{1}{2}=3$

Находим f(x₀):

$\LARGE \boldsymbol {} f(x_0)=f\left(\frac{\pi }{18} \right) =\sin\left(6*\frac{\pi }{18} \right)-3=\sin\left(\frac{\not6\pi }{\not18} \right)-\\\\-3=\sin\left(\frac{\pi }{3} \right)-3=\frac{\sqrt{3} }{2} -3=\frac{\sqrt{3} -6}{2}$

Мы имеем f(x₀), f'(x₀) и x₀. Подставляем в уравнение касательной:

$\LARGE \boldsymbol {} y=\frac{\sqrt{3}-6 }{2}+3\left(x-\frac{\pi }{18}\right) \\\\y=\frac{\sqrt{3}-6 }{2}+3x-\frac{\not3\pi }{\not18} \\\\\boxed{y=\frac{\sqrt{3}-6 }{2}+3x-\frac{\pi }{6}}$

Уравнение касательной имеет вид y=(√3-6)/2+3x-π/6.

Теперь подставляем f(x₀), f'(x₀) и x₀ в уравнение нормали:

$\LARGE \boldsymbol {} y=\frac{\sqrt{3}-6 }{2} -\frac{1}{3}\left(x-\frac{\pi }{18}\right) \\\\y=\frac{\sqrt{3}-6 }{2} -\frac{1}{3}x+\frac{\pi }{3*18} \\\\\boxed{y=\frac{\sqrt{3}-6 }{2} -\frac{1}{3}x+\frac{\pi }{54} }$

Уравнение нормали имеет вид y=(√3-6)/2-1/3x+π/54.

Answer 2

Щоб знайти рівняння дотичної та нормалі до кривої \(y = \sin(6x) - 3\) у точці \(x_0 = \frac{\pi}{18}\), треба взяти похідні першого порядку від \(y\) по \(x\).

1. Знайдемо похідну від \(y\) по \(x\): \[y' = \frac{d}{dx}(\sin(6x) - 3)\]

Використовуючи правило ланцюгового відновлення, ми отримаємо: \[y' = 6\cos(6x)\]

2. Тепер підставимо \(x_0 = \frac{\pi}{18}\) у вираз для \(y'\), щоб знайти значення похідної в точці \(x_0\): \[y'(\frac{\pi}{18}) = 6\cos\left(6 \cdot \frac{\pi}{18}\right)\]

3. Знаючи значення похідної у точці \(x_0\), ми можемо скласти рівняння дотичної та нормалі.

a. Рівняння дотичної має вигляд: \[y - y_0 = m(x - x_0)\] де \(m\) - значення похідної у точці \(x_0\), \((x_0, y_0)\) - координати точки на кривій.

Таким чином, рівняння дотичної: \[y - (\sin(6x_0) - 3) = 6\cos(6x_0)(x - x_0)\]

b. Рівняння нормалі має вигляд: \[y - y_0 = -\frac{1}{m}(x - x_0)\] де \(-\frac{1}{m}\) - обернена величина похідної у точці \(x_0\).

Таким чином, рівняння нормалі: \[y - (\sin(6x_0) - 3) = -\frac{1}{6\cos(6x_0)}(x - x_0)\]

Підставте значення \(x_0 = \frac{\pi}{18}\) у вирази для \(y\), \(y'\), і отримайте конкретні рівняння для дотичної та нормалі у даній точці.