Question

Помогите пожалуйста... . Задача: Выведите формулу для суммы 1+3+9+...+3^(n-1)+3^n . Заранее спасибо ( я видела вопрос где была уже эта формула, но уже выведенная, то есть надо было доказать что вот это верно, а моя задача дойти до этого. )

Answer 1

Данное выражение

( $1+3+9+...+3^{n-1}+3^n = 1 + 1*3 + 1*3^2+...+1*3^{n-1}+1*3^n$) является суммой геометрической прогрессии; вот её формула:

S=$b_{1} +b_{1}*q + b_{1}*q^2+...+b_{1}*q^{n-1}+b_{1}*q^n$=$\frac{b_{1} *(q^{n}-1) }{q-1}$

где:

S - сумма

$b_{1}$ - первый слагаемое (в данном случае 1)

q - шаг геометрической прогрессии (в данном случае 3)

Что мы имеем:

$S=\frac{1*(3^{n}-1) }{3-1}=\frac{3^{n}-1}{2}$

Answer 2

Конечно, давайте рассмотрим данную задачу.

Дана последовательность чисел \(1, 3, 9, \ldots, 3^{n-1}, 3^n\). Нам нужно найти формулу для суммы этих чисел.

Обозначим эту сумму как \(S_n\). Тогда:

\[ S_n = 1 + 3 + 9 + \ldots + 3^{n-1} + 3^n \]

Мы знаем, что эта последовательность является геометрической прогрессией с первым членом \(a = 1\) и знаменателем \(r = 3\).

Формула для суммы \(n\) членов геометрической прогрессии:

\[ S_n = \frac{a \cdot (r^n - 1)}{r - 1} \]

Подставим значения \(a = 1\) и \(r = 3\):

\[ S_n = \frac{1 \cdot (3^n - 1)}{3 - 1} \]

Упростим выражение:

\[ S_n = \frac{3^n - 1}{2} \]

Таким образом, формула для суммы заданной последовательности:

\[ S_n = \frac{3^n - 1}{2} \]

Это и есть искомая формула для суммы чисел \(1, 3, 9, \ldots, 3^{n-1}, 3^n\).