Question

Решите уравнение cos(2пи×cos.x)=1​

Answer 1

$\cos(2\pi\cos x)=1$

Вспоминаем частный случай решения уравнения:

$\cos\alpha =1\Rightarrow \alpha =2\pi m,\ m\in\mathbb{Z}$

Получим:

$2\pi\cos x=2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$

Сокращаем обе части на $2\pi$:

$\cos x=k,\ k\in\mathbb{Z}$

Получаем, что косинус равен некоторому целому числу. Учитывая, что косинус принимает свои значения из отрезка от -1 до 1, можно понять, что число $k$ может принимать три значения:

$k_1=-1;\ k_2=0;\ k_3=1$

Решаем три получившихся уравнения:

$\cos x_1=-1\Rightarrow x_1=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

$\cos x_2=0\Rightarrow x_2=\dfrac{\pi}{2} +\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

$\cos x_3=1\Rightarrow x_3=2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$

Заметим, что три получившиеся серии корней можно объединить в одну:

$x=\dfrac{\pi n}{2} ,\ n\in\mathbb{Z}$

Ответ: $\dfrac{\pi n}{2} ,\ n\in\mathbb{Z}$

Answer 2

Для решения уравнения cos(2πcos(x)) = 1, мы можем использовать основное тригонометрическое тождество cos(2θ) = 1 - 2sin²(θ).

Заметим, что подставив θ = πcos(x), мы получим:

cos(2πcos(x)) = 1 - 2sin²(πcos(x)).

Теперь нам нужно найти значения угла x, для которых sin²(πcos(x)) = 0.

Заметим, что sin²(πcos(x)) = 0 будет верно, когда sin(πcos(x)) = 0.

Поскольку sin(0) = 0, то угол πcos(x) должен быть равен нулю. Это означает, что x должен быть целым числом, так как cos(x) принимает значения от -1 до 1.

Таким образом, решениями данного уравнения будут все целые числа x.