Question

Как определить координату вершины параболы y=4x^2+2x+1МИНИМУМ ДВУМЯ СПОСОБАМИДЛЯ 9 КЛАССА(в смысле не способы назвать а прямо их сделать)

Answer 1

Ответ:

          $y=4x^2+2x+1$  

Это уравнение описывает квадратичную функцию , графиком которой является парабола.

Есть формула, по которой можно найти абсциссу вершины параболы.

$x_{v}=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{2}{2\cdot 4}=-\dfrac{1}{4}$  

Чтобы найти ординату вершины, надо подставить в уравнение х(вершины) , получим

$y_{v}=4\cdot \Big(-\dfrac{1}{4}\Big)^2-2\cdot \dfrac{1}{4}+1=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{3}{4}$  

Вершина параболы находится в точке   $\Big(\, -\dfrac{1}{4}\ ;\ \dfrac{3}{4}\ \Big)$  .

 2 способ нахождения вершины параболы - выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена.

$y=4x^2+2x+1=\Big[\ (2x)^2+2\cdot (2x)\cdot \dfrac{1}{2}+\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^2\ \Big]-\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^2+1=\\\\\\=\Big(2x+\dfrac{1}{2}\Big)^2-\dfrac{1}{4}+1=\Big(2x+\dfrac{1}{2}\Big)^2+\dfrac{3}{4}=\ 4\cdot \Big(x+\dfrac{1}{4}\Big)^2+\dfrac{3}{4}$  

Если парабола задана уравнением  $y-y_0=2p(x-x_0)^2$  ,  то вершина параболы находится в точке  $(x_0\, ;\, y_0)$  .

Мы преобразовали уравнение параболы к виду  

 $y-\dfrac{3}{4}=4\cdot \Big(x+\dfrac{1}{4}\Big)$  . Поэтому вершина в точке     $\Big(\, -\dfrac{1}{4}\ ;\ \dfrac{3}{4}\ \Big)$  .  

Answer 2

Для определения координат вершины параболы \(y = ax^2 + bx + c\) существует несколько способов. Давайте рассмотрим два из них.

Способ 1: Метод завершения квадрата (квадратичная форма)

1. Приведение уравнения к квадратичной форме: Рассмотрим уравнение \(y = 4x^2 + 2x + 1\). Выделим полный квадрат в части с \(x^2\) и \(x\):

\[y = 4x^2 + 2x + 1 = 4(x^2 + \frac{1}{2}x) + 1\]

2. Добавление и вычитание константы: Добавим и вычтем квадрат половины коэффициента при \(x\), т.е., \((\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}\):

\[y = 4(x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 1\]

Теперь у нас получается полный квадрат, который можно представить в виде:

\[y = 4\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} + 1\]

3. Получение канонической формы: Перепишем уравнение, сгруппировав члены:

\[y = 4\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}\]

Теперь у нас уравнение в канонической форме \(y = a(x - h)^2 + k\), где вершина находится в точке \((h, k)\). В данном случае \(h = -\frac{1}{2}\) и \(k = \frac{3}{4}\), поэтому координаты вершины:

\[\text{Вершина: } \left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right)\]

Способ 2: Формула вершины параболы

Для уравнения \(y = ax^2 + bx + c\), координаты вершины можно найти по формулам:

\[h = -\frac{b}{2a}\] \[k = f(h)\]

где \(h\) - абсцисса вершины, \(k\) - ордината вершины.

1. Находим \(h\): В данном случае, у нас \(a = 4\) и \(b = 2\), поэтому:

\[h = -\frac{2}{2 \cdot 4} = -\frac{1}{2}\]

2. Находим \(k\): Подставим \(h\) в уравнение \(y\):

\[k = 4\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 2\left(-\frac{1}{2}\right) + 1 = \frac{3}{4}\]

Таким образом, координаты вершины:

\[\text{Вершина: } \left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right)\]

Оба способа приведут к одним и тем же координатам вершины параболы.