Question

Найдите уравнение касательной к графику функции fx=x2+3x-8, если эта касательная параллельна прямой y=5x+1.

Answer 1

Ответ:

у= 5х+7

Пошаговое объяснение:

1.  Угловой коэффициент прямой у=5х+1 равен 5.

Т.к. по условию, прямая у=5х+1 параллельна касательной к графику функции f(x)=x²+3x+8, то угловые коэффициенты этих прямых совпадают, а это значит, что f `(x₀) =5, т.к. угловой коэффициент - это и есть производная функции в точке касания.

2.  Найдём х₀ - точку касания:

f `(x) = (x²+3x+8)` = 2x+3

f `(x₀) = 2x₀+3

f `(x₀) = 5 (см. п.1)

2x₀+3 = 5

2x₀=5-3

2x₀=2

x₀=1

3.  Найдём значение функции в точке х₀=1:

f(x₀)= f(1) = 1²+3*1+8 = 1+3+8 = 12

4. Запишем уравнение касательной:

y = f(x₀) + f `(x₀)(x-x₀)

y = 12+ 5(x-1)

y = 12+5x-5

y = 5x+7 - искомое уравнение касательной

Answer 2

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции f(x) = x^2 + 3x - 8, которая параллельна прямой y = 5x + 1, нужно учесть два факта:

1) Касательная имеет такое же значение производной, как и функция f(x) в данной точке. 2) График функции f(x) и прямая y = 5x + 1 параллельны, значит их коэффициенты наклона равны.

Сначала найдем производную функции f(x):

f'(x) = 2x + 3

Так как касательная имеет такое же значение производной, то уравнение касательной будет иметь вид:

y = (2x + 3)x + b

Чтобы найти b, подставим координаты точки в уравнение касательной. Мы знаем, что эта точка лежит на прямой y = 5x + 1, поэтому x и y будут соответствовать координатам точки пересечения касательной и прямой:

5x + 1 = (2x + 3)x + b

Раскроем скобки:

5x + 1 = 2x^2 + 3x + b

Перенесем все в одну часть уравнения:

2x^2 + 3x + b - 5x - 1 = 0

Упростим это уравнение:

2x^2 - 2x + b - 1 = 0

Так как касательная проходит через точку, у которой x = 1 и y = 5 * 1 + 1 = 6, подставляем эти значения в уравнение:

2 * 1^2 - 2 * 1 + b - 1 = 0 2 - 2 + b - 1 = 0 b = 1

Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x) = x^2 + 3x - 8, параллельной прямой y = 5x + 1, имеет вид:

y = 2x^2 + 3x + 1