Question

4) Розв’яжіть рівняння а) 5^x=625 б) 27^x=81 в) (49/81)^x-6=(9/7)^x+4 г) 5^(x) +5^(x+2)=130 д) 5^(2x) -30•5^(x) +125=0 е) 2•3^(x+1) -4•3^(x-2) -25•3^(x-3) =375,

Answer 1

Давайте поочередно розв'язуватимемо кожне рівняння:

а) \(5^x = 625\)

Для розв'язання цього рівняння, ми можемо записати \(625\) як \(5^4\), оскільки \(5^4 = 625\). Таким чином, ми отримаємо:

\[5^x = 5^4\]

Оскільки бази однакові, ступені повинні бути рівні:

\[x = 4\]

б) \(27^x = 81\)

Тут ми можемо записати \(81\) як \(3^4\), оскільки \(3^4 = 81\). Отже:

\[27^x = 3^{3x} = 3^4\]

Тепер порівнюємо ступені:

\[3x = 4\]

\[x = \frac{4}{3}\]

в) \(\left(\frac{49}{81}\right)^x - 6 = \left(\frac{9}{7}\right)^x + 4\)

Спочатку давайте приберемо число \(6\) з лівої сторони:

\[\left(\frac{49}{81}\right)^x = \left(\frac{9}{7}\right)^x + 10\]

Тепер ми можемо помножити обидві сторони на \(81^x\), щоб позбутися знаменників:

\[49^x = 81^x \cdot \left(\frac{9}{7}\right)^x + 10 \cdot 81^x\]

Розділімо обидві сторони на \(7^x\), оскільки \(49 = 7^2\):

\[7^{2x} = 9^x \cdot 7^x + 10 \cdot 3^{4x}\]

Тепер замінимо \(7^{2x}\) і \(3^{4x}\) на \(49^x\) і \(81^x\):

\[49^x = 9^x \cdot 7^x + 10 \cdot 81^x\]

Тепер ми можемо використати попередні знання про \(7^x\) і \(81^x\):

\[49^x = 9^x \cdot 7^x + 10 \cdot (7^2)^x\]

Розкриємо дужки:

\[49^x = 9^x \cdot 7^x + 10 \cdot 7^{2x}\]

Тепер замінимо \(7^{2x}\) на \(49^x\):

\[49^x = 9^x \cdot 7^x + 10 \cdot 49^x\]

Віднімемо \(9^x \cdot 7^x\) з обох сторін:

\[40^x = 10 \cdot 49^x\]

Поділимо обидві сторони на 10:

\[4^x = 49^x\]

Тепер ми бачимо, що обидві сторони рівняння мають однакові бази (\(4\) і \(49\)), тому \(x\) повинно бути рівне \(0\).

г) \(5^x + 5^{x+2} = 130\)

Спочатку скористаємося фактом, що \(5^{x+2} = 5^x \cdot 5^2 = 25 \cdot 5^x\). Підставимо це у рівняння:

\[5^x + 25 \cdot 5^x = 130\]

Об'єднаємо подібні доданки:

\[26 \cdot 5^x = 130\]

Поділимо обидві сторони на 26:

\[5^x = 5\]

Отже, \(x = 1\).

д) \(5^{2x} - 30 \cdot 5^x + 125 = 0\)

Спробуємо представити ліву частину як квадратний тричлен. Помножимо обидві сторони на \(5^{-x}\):

\[5^{2x - x} - 30 + 125 \cdot 5^{-x} = 0\]

Згрупуємо перші два доданки як квадратний тричлен:

\[(5^x - 5)^2 + 125 \cdot 5^{-x} = 0\]

Від'ємемо \(125 \cdot 5^{-x}\) з обох сторін:

\[(5^x - 5)^2 = -125 \cdot 5^{-x}\]

Оскільки квадрат завжди не менше нуля, рівняння не має розв'язків в реальних числах.

е) \(2 \cdot 3^{x+1} - 4 \cdot 3^{x-2} - 25 \cdot 3^{x-3} = 375\)

Розкриємо дужки та згрупуємо подібні доданки:

\[2 \cdot 3 \cdot 3^x - 4 \cdot \frac{1}{9} \cdot 3^x - \frac{25}{27} \cdot 3^x = 375\]

\[6 \cdot 3^x - \frac{4}{9} \cdot 3^x - \frac{25}{27} \cdot 3^x = 375\]

\[6 \cdot 3^x - \frac{4+25}{9} \cdot 3^x = 375\]

\[6 \cdot 3^x - \frac{29}{9} \cdot 3^x = 375\]

\[\frac{54 - 29}{9} \cdot 3^x = 375\]

\[\frac{25}{