Question

В одном из регионов производством постельного белья занимаются две фабрики. Первая фабрика выпускает 30% постельного белья, реализуемого в данном регионе, вторая - 70%. Среди комплектов постельного белья, произведённых первой фабрикой, дефекты пошива имеют 6% комплектов, у второй фабрики дефекты пошива имеют 2% комплектов. Случайным образом купленный в данном регионе комплект постельного белья имеет дефект. Найдите вероятность того, что этот комплект пошит на первой фабрике. Ответ: 0,5625. Объясните, пожалуйста, как решить)​

Answer 1

В одном из регионов производством постельного белья занимаются две фабрики.

Первая фабрика выпускает 30% постельного белья, реализуемого в данном регионе, вторая - 70%. Среди комплектов постельного белья, произведённых первой фабрикой, дефекты пошива имеют 6% комплектов, у второй фабрики дефекты пошива имеют 2% комплектов. Случайным образом купленный в данном регионе комплект постельного белья имеет дефект. Найдите вероятность того, что этот комплект пошит на первой фабрике.

Решение:

Постельное бельё выпускают ДВЕ фабрики.

    1 фабрика                                 2 фабрика

      30% =0.3                                    70%=0.7

             /\                                                  /\

           /    \                                              /    \

   0.06     без дефекта                 0.02     без дефекта

(с дефектом)                            (с дефектом)

Всё белье поступает в продажу в данном регионе.

Покупатель купил бельё с дефектом.

Оно могло быть пошито на 1 фабрике или на второй фабрике.

р1=0.3*0.06=0.018 -вероятность пошива белья с дефектом на 1 фабрике

(произведение вероятностей)

р2=0.7*0.02=0.014 -вероятность пошива белья с дефектом на 2 фабрике

(произведение вероятностей)

р1+р2=0.018+0.014=0.032 -вероятность пошива белья с дефектом ИЛИ на 1 фабрике ИЛИ на 2 фабрике.

(сумма вероятностей)

Теперь найдём вероятность того, что купленный комплект белья с дефектом, пошит именно на 1 фабрике:

$p=\frac{m}{n} =\frac{p1}{p1+p2} =\frac{0.018}{0.032} =\frac{18}{32} =0.5625$

Ответ:

0.5625.

Answer 2

Давайте рассмотрим задачу шаг за шагом.

Пусть A - событие, что комплект пошит на первой фабрике, и B - событие, что комплект имеет дефект.

Из условия известны следующие вероятности:

\[ P(A) = 0.3 \] (вероятность того, что комплект пошит на первой фабрике), \[ P(B|A) = 0.06 \] (вероятность того, что комплект имеет дефект, если он пошит на первой фабрике), \[ P(\overline{A}) = 0.7 \] (вероятность того, что комплект пошит на второй фабрике), \[ P(B|\overline{A}) = 0.02 \] (вероятность того, что комплект имеет дефект, если он пошит на второй фабрике).

Теперь мы можем использовать формулу условной вероятности:

\[ P(A|B) = \frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(A) \cdot P(B|A) + P(\overline{A}) \cdot P(B|\overline{A})} \]

Подставим известные значения:

\[ P(A|B) = \frac{(0.3 \cdot 0.06)}{(0.3 \cdot 0.06) + (0.7 \cdot 0.02)} \]

Вычисляем:

\[ P(A|B) = \frac{0.018}{0.018 + 0.014} \]

\[ P(A|B) = \frac{0.018}{0.032} \]

\[ P(A|B) = 0.5625 \]

Таким образом, вероятность того, что случайно купленный комплект постельного белья с дефектом был сделан на первой фабрике, составляет 0.5625 или 56.25%.