Question

Помогите решить, пожалуйста! 85 баллов В некоторой отрасли 30% продукции производится фабрикой 1, 25% − фабрикой 2, а остальные – фабрикой 3. На фабрике 1 в брак идет 1% всей продукции, на фабрике 2 – 1,5%, на фабрике 3 – 2%. Купленная покупателем единица продукции оказалась браком. Какова вероятность того, что она произведена фабрикой 1?

Answer 1

Пусть событие А — купленное изделие оказалось бракованным.

Гипотезы $H_i$ - изделие произведено $i$-ой фабрикой (1, 2 и 3)

По условию, $P(H_1)=0.3;~~~ P(H_2)=0.25;~~~ P(H_3)=1-0.3-0.25=0.45$

Условные вероятности :

$P(A|H_1)=0.01\\ P(A|H_2)=0.015\\ P(A|H_3)=0.02$

По формуле полной вероятности, вероятность события А :

$P(A)=P(A|H_1)P(H_1)+P(A|H_2)P(H_2)+P(A|H_3)P(H_3)=\\ \\ =0.01\cdot0.3+0.015\cdot 0.25+0.02\cdot 0.45=0.01575$

По формуле Байеса, искомая вероятность:

$P(H_1|A)=\dfrac{P(A|H_1)P(H_1)}{P(A)}=\dfrac{0.01\cdot 0.3}{0.01575}\approx0.2$

Из всех бракованных изделий в среднем 20% выпускаются фабрикой 1.

Ответ: 0,2.

Answer 2

Давайте решим задачу с помощью формулы условной вероятности.

Обозначим события:

• A1 - продукция произведена фабрикой 1
• A2 - продукция произведена фабрикой 2
• A3 - продукция произведена фабрикой 3
• B - продукция является браком

Нам дано:

• P(A1) = 30% = 0.30 (вероятность, что продукция произведена фабрикой 1)

• P(A2) = 25% = 0.25 (вероятность, что продукция произведена фабрикой 2)

• P(A3) = вероятность, что продукция произведена фабрикой 3 (оставшиеся 45% = 100% - 30% - 25%)

• P(B|A1) = 1% = 0.01 (вероятность того, что продукция с фабрики 1 окажется бракованной)

• P(B|A2) = 1.5% = 0.015 (вероятность того, что продукция с фабрики 2 окажется бракованной)

• P(B|A3) = 2% = 0.02 (вероятность того, что продукция с фабрики 3 окажется бракованной)

Мы хотим найти вероятность P(A1|B), то есть вероятность того, что продукция бракованная, но она была произведена на фабрике 1.

Для этого мы воспользуемся формулой условной вероятности:

P(A1|B) = P(A1 ∩ B) / P(B),

где P(A1 ∩ B) - вероятность того, что продукция бракованная и она была произведена на фабрике 1, P(B) - вероятность того, что продукция бракованная.

Теперь рассчитаем значения:

P(A1 ∩ B) - вероятность того, что продукция бракованная и она была произведена на фабрике 1: P(A1 ∩ B) = P(A1) * P(B|A1) = 0.30 * 0.01 = 0.003.

P(B) - вероятность того, что продукция бракованная: P(B) = P(A1) * P(B|A1) + P(A2) * P(B|A2) + P(A3) * P(B|A3) = 0.30 * 0.01 + 0.25 * 0.015 + 0.45 * 0.02 = 0.003 + 0.00375 + 0.009 = 0.01575.

Теперь мы можем найти P(A1|B):

P(A1|B) = P(A1 ∩ B) / P(B) = 0.003 / 0.01575 ≈ 0.1905.

Таким образом, вероятность того, что продукция, являющаяся браком, произведена фабрикой 1, составляет примерно 19.05%.