Question

Знайдіть похідну функції y(x) = x-5x3/8x+2

Answer 1

надіюся що правеліно має бути правельно

Answer 2

Звісно, я допоможу вам знайти похідну функції \(y(x) = \frac{x - 5x^3}{8x + 2}\).

Для знаходження похідної цієї функції скористаємося правилом диференціювання. Правило диференціювання дробових функцій виглядає наступним чином:

\[(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2},\]

де \(u\) та \(v\) - це функції \(u(x)\) та \(v(x)\), а \(u'\) та \(v'\) - їхні похідні за \(x\).

Розглянемо функцію \(y(x) = \frac{x - 5x^3}{8x + 2}\) та знайдемо похідні її чисельника та знаменника:

1. Чисельник: \[u(x) = x - 5x^3.\] Знайдемо похідну чисельника \(u(x)\): \[u'(x) = 1 - 15x^2.\]

2. Знаменник: \[v(x) = 8x + 2.\] Знайдемо похідну знаменника \(v(x)\): \[v'(x) = 8.\]

Тепер підставимо ці значення в формулу для похідної дробової функції:

\[(\frac{u}{v})' = \frac{(1 - 15x^2)(8x + 2) - (x - 5x^3)(8)}{(8x + 2)^2}.\]

Щоб спростити це вираження, розгорнемо чисельник і скоротимо:

\[(\frac{u}{v})' = \frac{8x + 2 - 120x^3 - 30x - 8x + 40x^3}{(8x + 2)^2}.\]

Тепер об'єднаємо подібні члени:

\[(\frac{u}{v})' = \frac{-80x^3 - 30x + 2}{(8x + 2)^2}.\]

Отже, отримали вираз для похідної функції \(y(x) = \frac{x - 5x^3}{8x + 2}\):

\[y'(x) = \frac{-80x^3 - 30x + 2}{(8x + 2)^2}.\]

Це є точною похідною даної функції за змінною \(x\).