Question

Увлекшись бегом трусцой, Ярослав Борисович подговорил своего друга Игната Михайловича совершать небольшие пробежки по периметру круглого стадиона гимназии № 2022. Во время одной такой пробежки они заметили, что бегают они всегда равномерно и в одном направлении, причем Ярослав Борисович пробегает полный круг на 3 минуты быстрее, чем Игнат Михайлович. Время между их последовательными встречами равно 18 минутам. Определите время, за которое Ярослав Борисович пробегает один круг. Ответ обоснуйте.

Answer 1

Ответ:

Ярослав Борисович пробегает один круг за 6 минут.

Пошаговое объяснение:

Пусть Ярослав Борисович пробегает один круг за T минут, а Игнат Михайлович за P

Ярослав Борисович пробегает полный круг на 3 минуты быстрее, чем Игнат Михайлович - значит T=P-3

Время между их последовательными встречами равно 18 минутам - допустим, что за это время Игнат Михайлович пробежал K кругов, тогда Ярослав Борисович пробегает на 1 круг больше, чем Игнат Михайлович, то есть Ярослав Борисович пробежит K+1 круг.

Время, которое уйдет на K кругов у Игнат Михайлович, равно K*P,

Время, которое уйдет на K+1 кругов у Ярослав Борисович, равно (K+1)*T. И известно, что это время = 18 минут. Значит

K*P=18

(K+1)*T=18

(K+1)=18/T

K=18/T-1=18/P. При этом T=P-3 - подставим это выражение в последнее уравнение

18/(P-3)-1=18/P  - умножим уравнение на P(P-3):

18P-P(P-3)=18(P-3)

P²-3P-54=0

Единственным положительным корнем является P=9 (отрицательного времени не может быть)

Тогда T=P-3=9-3=6 минут.

Проверка:

Тогда K=18/P=18/9=2 - два круга пробегает Игнат Михайлович за 18 минут.

(K+1)*T=(2+1)*6=18 - Ярослав Борисович за эти же 18 минут пробегает 3 круга (значит встретит Игнат Михайловича). Все условия выполнены.

Answer 2

Пусть время, за которое Ярослав Борисович пробегает один круг, равно Х минутам. Тогда время, за которое Игнат Михайлович пробегает один круг, будет равно Х + 3 минуты.

Из условия задачи известно, что время между последовательными встречами Ярослава Борисовича и Игната Михайловича составляет 18 минут. Значит, за 18 минут они оба совершают одинаковое количество полных кругов стадиона.

За время Х Ярослав Борисович пробегает один круг, а за время Х + 3 минуты Игнат Михайлович пробегает один круг. Таким образом, за 18 минут они совершают [18/(Х + Х + 3)] кругов.

Из этого можно составить уравнение: 18/(Х + Х + 3) = 1

Упрощаем уравнение: 18 = 2Х + 3

2Х = 18 - 3 2Х = 15 Х = 15/2 Х = 7.5

Таким образом, Ярослав Борисович пробегает один круг стадиона за 7.5 минут.