Question

Зайти невизначені інтеграли:1) (4x³+5/x) dx;4)x³dx/x⁴+7Помогите пожалуйста

Answer 1

Ответ:

Неопределенные интегралы:

1) $\boxed{ \boldsymbol{\displaystyle \int {\bigg(4x^{3} + \frac{5}{x} \bigg)} \, dx = x^{4} + 5 \ln|x| +C}}$

2) $\boxed{ \boldsymbol{\displaystyle \int {\frac{x^{3}\ dx}{x^{4} + 7} } =0,25\ln |x^{4} + 7| + C} }$

Примечание:

По таблице интегралов:

$\boxed{ \displaystyle \int \dfrac{1}{x} \ dx= \ln |x| + C}$

$\boxed{ \displaystyle \int x^{n} \ dx= \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C;x > 0;n \neq -1}$

Правила интегрирования:

$\displaystyle \int {\bigg(f(x) \pm g(x) \bigg)} \, dx = \int {f(x) } \, dx \pm \int { g(x) \, dx$

$\displaystyle \int {kf(x) } \, dx = k \int {f(x) } \, dx$

Пошаговое объяснение:

1)

$\displaystyle \int {\bigg(4x^{3} + \frac{5}{x} \bigg)} \, dx = \int {4x^{3} } \, dx + \int { \frac{5}{x} } \, dx = 4 \int {x^{3} } \, dx + 5\int { \frac{1}{x} } \, dx =$

$\displaystyle = 4 \cdot \frac{x^{3 + 1}}{3 + 1} + C_{1} + 5 \ln|x| + C_{2} = 4 \cdot \frac{x^{4}}{4} + C_{1} + 5 \ln|x| + C_{2} =$

$= x^{4} + 5 \ln|x| +C$

2)

$\displaystyle \int {\frac{x^{3}\ dx}{x^{4} + 7} } = \frac{1}{4} \int {\frac{ d(x^{4})}{x^{4} + 7} } = \frac{1}{4} \cdot \ln |x^{4} + 7| + C = 0,25\ln |x^{4} + 7| + C$

(В данном интеграле под дифференциал вносится $x^{4}$, но так как после внесения под дифференциал интеграл не должен изменится, то его умножаем на 0,25)

Answer 2

Конечно, давайте решим данные интегралы поочередно.

1. \(\int (4x^3 + \frac{5}{x}) \, dx\):

Разделим интеграл на две части: \[\int (4x^3 + \frac{5}{x}) \, dx = \int 4x^3 \, dx + \int \frac{5}{x} \, dx.\]

Тепер проинтегрируем каждую из частей:

\[\int 4x^3 \, dx = \frac{4}{4}x^4 + C_1 = x^4 + C_1,\]

где \(C_1\) - произвольная постоянная.

\[\int \frac{5}{x} \, dx = 5 \ln |x| + C_2,\]

где \(C_2\) - еще одна произвольная постоянная.

Таким образом, окончательный ответ:

\[\int (4x^3 + \frac{5}{x}) \, dx = x^4 + 5 \ln |x| + C,\]

где \(C = C_1 + C_2\) - общая постоянная.

2. \(\int \frac{x^3 \, dx}{x^4 + 7}\):

Сначала проведем замену переменной. Обозначим \(u = x^4 + 7\), тогда \(du = 4x^3 \, dx\).

Теперь подставим это в интеграл:

\[\int \frac{x^3 \, dx}{x^4 + 7} = \frac{1}{4} \int \frac{du}{u}.\]

Интеграл \(\int \frac{1}{u} \, du\) равен \(\ln |u| + C\), где \(C\) - постоянная интегрирования.

Теперь вернемся к переменной \(x\):

\[\frac{1}{4} \ln |x^4 + 7| + C.\]

Таким образом, окончательный ответ:

\[\int \frac{x^3 \, dx}{x^4 + 7} = \frac{1}{4} \ln |x^4 + 7| + C.\]

Где \(C\) - постоянная интегрирования.