Question

Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями y=x^3 y=1 x=2

Answer 1

Ответ:

Площадь фигуры равна 2,75 квадратных единиц

Пошаговое объяснение:

По условию фигура ограниченна линиями:

$y = x^{3}$, $y = 1$, $x = 2$

Найдем границы интегрирования:

(для этого необходимо найти точку пересечения графиков

$y = x^{3}$ и $y = 1$

-------------------------

$x^{3} = 1$

$\sqrt[3]{x^{3}} = \sqrt[3]{1}$

$x = 1$

То есть границы интегрирования от 1 до 2.

Так как график $y = x^{3}$ расположен над графиком $y = 1$ на отрезке от 1 до 2, то по формуле Ньютона-Лейбница:

$\displaystyle S = \int\limits^2_1 {(x^{3} - 1)} \, dx = \bigg( \dfrac{x^{4}}{4} - x \bigg) \bigg|_1^2 = \bigg(\dfrac{2^{4}}{4} - 2 \bigg) - \bigg(\dfrac{1^{4}}{4} - 1 \bigg) =2- (-0,75) = 2,75$

квадратных единиц.

Answer 2

Опішімо дану фігуру:

y = x^3 y = 1 x = 2

Перш ніж знайти площу фігури, спочатку визначимо точки перетину цих ліній. Для цього вирішимо систему рівнянь, утворену лініями:

y = x^3 (Рівняння 1) y = 1 (Рівняння 2) x = 2 (Рівняння 3)

З рівняння 2 видно, що y завжди рівне 1, незалежно від значення x. Тому ми можемо підставити y = 1 в рівняння 1, отримаємо:

1 = x^3

Тепер знайдемо значення x, піднімаючи обидві частини рівняння до кубу:

x^3 = 1

Таким чином, ми отримали x = 1. Тепер підставимо це значення x в рівняння 3:

x = 2

Це суперечить отриманому раніше значенню x = 1, тому в даному випадку немає точок перетину між лініями. Таким чином, фігура, обмежена цими лініями, складається з двох окремих частин.

Для знаходження площі кожної з цих частин, використаємо формулу для знаходження площі під криволінійним графіком. Формула для знаходження площі під кривою y = f(x) від a до b виглядає так:

S = ∫[a,b] f(x) dx

Оскільки ми маємо дві окремі частини, ми розглянемо їх окремо:

Частина 1: y = x^3 від x = 1 до x = 2 Частина 2: y = 1 від x = 1 до x = 2

Знайдемо площу частини 1:

Спочатку виконаємо інтегрування для цієї функції. Інтеграл від x^3 з x = 1 до x = 2 виглядає так:

∫[1,2] x^3 dx

Щоб обчислити цей інтеграл, виконаємо інтегрування:

∫[1,2] x^3 dx = [1/4 * x^4] [1,2] = (1/4 * 2^4) - (1/4 * 1^4) = 16/4 - 1/4 = 15/4

Отже, площа частини 1 дорівнює 15/4.

Знайдемо площу частини 2:

Площа частини 2 - це просто прямокутник з довжиною 1 і шириною 1, оскільки y завжди рівне 1.

Отже, площа частини 2 дорівнює 1.

Загальна площа фігури:

Загальна площа фігури, обмеженої лініями y = x^3, y = 1 і x = 2, дорівнює сумі площ частин 1 і 2:

Площа фігури = Площа частини 1 + Площа частини 2 = 15/4 + 1 = 15/4 + 4/4 = 19/4

Таким чином, площа фігури, обмеженої лініями y = x^3, y = 1 і x = 2, дорівнює 19/4 або 4.75.