Question

2) Від точки С відрізка АВ по різні боки від прямої АВ прове- дено два промені CD і СК так, що градусні міри кутів ACD і BCD відносяться як 5: 4, а промінь СК є бісектрисою кута АСВ. Знайдіть градусну міру кута KCD.

Answer 1

Для розв'язання цього завдання використаємо властивості бісектриси та взаємної дії утворених кутів.

Позначимо градусні міри кутів так:

1. Градусна міра кута ACD - 5x. 2. Градусна міра кута BCD - 4x. 3. Градусна міра кута ACB - y (оскільки CK є бісектрисою кута ACB).

За умовою задачі відомо, що градусні міри кутів ACD і BCD відносяться як 5:4. Отже,

\[\frac{5x}{4x} = \frac{5}{4}.\]

З цього рівняння отримуємо:

\[5 \cdot 4x = 4 \cdot 5x,\]

що є істинним твердженням. Таким чином, умова задачі щодо відношення градусних мір кутів виконується.

Тепер використаємо властивість бісектриси. Знаючи, що CK є бісектрисою кута ACB, можемо скористатися властивістю бісектриси:

\[\frac{\text{Градусна міра кута ACD}}{\text{Градусна міра кута BCD}} = \frac{\text{AC}}{\text{BC}}.\]

Підставимо відомі значення:

\[\frac{5x}{4x} = \frac{\text{AC}}{\text{BC}}.\]

Спростимо вираз:

\[\frac{5}{4} = \frac{\text{AC}}{\text{BC}}.\]

Ми також відомо, що кут ACB дорівнює сумі кутів ACD і BCD:

\[y = 5x + 4x = 9x.\]

Знаючи, що градусні міри кута ACB дорівнюють y і можна записати вираз для відношення AC і BC, можемо розв'язати систему рівнянь:

\[ \begin{cases} \frac{5}{4} = \frac{\text{AC}}{\text{BC}}, \\ y = 9x. \end{cases} \]

Розв'язавши систему, знайдемо значення x і y.

Знайшовши x, можемо знайти градусну міру кута KCD:

\[ \text{Градусна міра кута KCD} = 180 - \text{Градусна міра кута ACB}.\]

Підставимо значення y і знайдемо відповідь.